Portada cíclica de la línea proyectiva.

Question

Deje $Y$ ser la superficie de Riemann definido por la ecuación $y^d=h(x)$ $\pi: Y \to \mathbb{C}_\infty$ ser el mapa de proyección envío de $(x,y)$$x$. Deje $\sigma: Y \to Y$ ser el automorphism definido por $(x,y) \mapsto (x,\zeta y)$ donde $\zeta$ es una primitiva $d^{th}$ rooth de la unidad. Deje $\mathcal{M}_i$ ser el espacio de los meromorphic funciones de $f$ $Y$ tal que $f \circ \sigma=\zeta^i f$.

Es fácil probar que los mapas de $x$ $y$ (respectivamente, las proyecciones en las dos coordenadas) pertenecen a $\mathcal{M}_0$$\mathcal{M}_1$. Además, cada función de $f \in \mathcal{M}_0$ es de la forma $r \circ \pi$ donde $r$ es una función de meromorphic en la esfera de Riemann. De hecho, podemos definir $r(x_0):=f(x_0,y_1(x_0))$ donde $(x_0,y_1(x_0))$ es un punto de la preimagen de $\pi^{-1}(x_0)$. Claramente, la invariancia de $f$ con respecto a la composición con $\sigma$ asegura que el mapa de $r$ está bien definido.

Ahora, ¿cómo puedo demostrar que toda función en $f \in \mathcal{M}_i$ es de la forma $y^i r \circ \pi$, para algunas de las $r$ meromorphic en la esfera de Riemann? Traté de definir $r$ como antes, pero el mapa no está bien definida, ya que un cambio de preimagen implica un cambio en la función de $f$.

Finalmente, ¿cómo puedo deducir que cada función de meromorphic $f$ $Y$ se da de una manera única como la suma de $\sum\limits_{i=0}^{d-1} f_i$ donde $f_i \in \mathcal{M}_i$ cualquier $i=0,\dots,d-1$?

Answer 1

Desde $y\circ \sigma = \zeta y$ si $f\in \mathcal{M}_i$ $f/y^i$ $\sigma$- invariante, por lo tanto la retirada de una función de meromorphic en la esfera, decir $r$. Ahora acaba de escribir $f/y^i = \pi^\ast r$.

Para la última parte, la revisión de una función de meromorphic $f$ y definen $$f_i = \frac{1}{d} \sum\limits_{j=1}^d \zeta^{-ij}(f\circ \sigma^j) \in \mathcal{M}_i$$ (el exponente en $\sigma^j$ es con respecto a su composición) y compruebe que la $f = \sum f_i$. Esta es una simple generalización de lo que Miranda no para hyperelliptic curvas en la página 62 de su libro.