Convergencia sin métrica o topología o campo sigma.

Question

¿Puede establecer algún tipo de convergencia en un espacio de funciones sin usar alguna métrica, topología o campo sigma?

Answer 1

Aquí es un poco de un ejemplo que parece suficiente su requisito.

Deje $A$ $B$ ser de cualquiera de los conjuntos, y considerar el espacio $B^A$ de las funciones de$A$$B$. También, vamos a $\omega$ ser un nonprincipal ultrafilter en $\mathbb{N}$. Es decir, $\omega$ es una máxima del filtro en $\mathbb{N}$ que no contiene finito de conjuntos. (La existencia de este filtro está garantizada por el Axioma de Elección).

Luego de una secuencia $(f_n) \subset B^A$ de las funciones y una función de $f \in B^A$, podemos decir $$f_n \stackrel{\omega}{\longrightarrow}f$$ si para cada a $x \in A$, la $\{ n \in \mathbb{N} : f_n (x) = f(x) \}$ está contenido en $\omega$.

Es fácil probar la unicidad del límite, y si no es una estructura algebraica en $B$, fácilmente se deduce que esta noción de límite es compatible con las operaciones en $B$.

Pero no captura ningún concepto útil de 'cercanía' (más bien, es sólo una descripción de incógnito, de " igualdad de una.e. $n$ pointwise'), por lo que parece de poca importancia para considerar este tipo de noción.