La serie que dan parece: $$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac1{4n+1}$$
Para ver esto, observe que cada uno de los denominadores son $1$ más que un múltiplo de $4$: $5 = 4 + 1$, y $9 = 8 + 1$, e $13 = 12 + 1$. Presumiblemente, este patrón continúa. A continuación, tomamos nota de que $4 = 4 \cdot 1$, e $8 = 4 \cdot 2$, e $12 = 4 \cdot 3$, y así sucesivamente. Así que el primer par de términos que son realmente:
$$1 + \frac1{4 \cdot 1 + 1} + \frac1{4 \cdot 2 + 1} + \frac1{4 \cdot 3 + 1} + \cdots$$
Ser capaz de identificar este tipo de patrón es una habilidad que vendrá de forma natural con la práctica. Así que os la recomiendo sin duda obtener un montón de práctica!
De todos modos, puede utilizar el Límite de la Prueba de Comparación con la serie armónica para conseguir la respuesta a la pregunta. Déjeme saber si usted necesita más orientación.
EDIT: La forma en que originalmente se pensó también puede trabajar:
\begin{align*}
1+\frac15+\frac19+\frac1{13}+\cdots &= 1+\frac1{5-0}+\frac1{10-1}+\frac1{15-2}+\cdots\\[0.3cm]&=1+\frac1{5\cdot 1-0}+\frac1{5\cdot2-1}+\frac1{5\cdot3-2}+\cdots\\[0.3cm]&=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac1{5\cdot n-(n-1)}\\[0.3cm]&=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac1{4n+1}\end{align*}
