Suma de (¿aritmética?) Series infinitas

Question

¿Cómo diablos encuentro la suma de una serie como$\sum\limits_{n=3}^\infty\frac{5}{36n^{2}-9}$? Parece que no puedo convertir esto en una serie geométrica y no tengo un número finito de sumas parciales, así que estoy perplejo.

Answer 1

$$\frac{5}{9}\sum \frac{1}{4x^2-1}$ $$$=\frac{5}{18}\sum \frac{1}{2x-1}-\frac{1}{2x+1}$ $$$=\frac{5}{18}[ \frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}...]$ $$$=\frac{5}{18}[\frac{1}{5}]$ $$$=\frac{1}{18}$ $

Answer 2

Sugerencia: vea si la serie es un telescopio si tuviera que acercarse a través de la descomposición de fracción parcial.

Answer 3

Tenga en cuenta que tenemos$$\sum_{n=3}^{\infty}\frac{5}{36n^2-9}$$ $$=\frac{5}{9}\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{4n^2-1}$ $

$$=\frac{5}{9}\sum_{n=3}^{\infty}T_n$ $$$\sum_{n=3}^{\infty}\frac{5}{36n^2-9}=\frac{5}{9}\lim_{n\to \infty}\sum_{n=3}^{n}T_n\tag 1$ $

Donde,$T_n$ es el término n de la serie dada como
$$T_n=\frac{1}{4n^2-1}= \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$$ $$=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)$$ Now, setting $ n = 3, 4, 5, \ dots n$, we get $$T_1=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)$$ $$T_2=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{9}\right)$$ $$T_3=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right)$$ $$..................$ $$$...................$ $$$T_{n-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}\right)$ $$$T_{n}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)$ $ Ahora, agregando todos los términos en forma de columna, obtener la suma de todos los términos$(n-2)$ como sigue$$\sum_{n=3}^{n} T_n=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{2n+1}\right)$ $ Ahora, tomando el límite como$n\to \infty$, obtenemos$$\lim_{n\to \infty}\sum_{n=3}^{n} T_n=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{2n+1}\right)$$ $$=\frac{1}{2}\lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{2n+1}\right)$$ $$=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}-0\right)=\frac{1}{10}$ $ Ahora, al establecer el valor anterior en (1), obtenemos
PS