Porcentaje de números racionales en un intervalo

Question

Hoy, solo se me ocurrió esta pregunta aleatoria: ¿Cuál es el porcentaje de números racionales en un intervalo?

Deje que$\mathbb{Q}$ sea el conjunto de los números racionales:

1- Tome un intervalo en el eje real:$A=[a,b]$, luego defina dos conjuntos:$S_1=\{x\mid x\in A\cap\mathbb{Q} \},~~ S_2=\{x\mid x\in A ~\text{and} ~x\notin\mathbb{Q} \}$, cuál es el valor de la relación$\frac{\#S1}{\#S1+\#S2}$, donde$\#S1$ y$\#S2$ son la cardinalidad de los conjuntos respectivos.

2- ¿Cómo se relaciona esta relación con las opciones de$a$ y$b$?

¡Gracias!

Answer 1

El porcentaje de los números racionales en cualquier no-trivial intervalo de los números reales (así, en particular, en $[a,b]$)$0$. Su particular formulación de esa afirmación no tiene sentido, sin embargo. Salvo en el caso trivial $a=b$ ambos $S_1$ $S_2$ va a ser infinito, por lo que la expresión $\frac{|S_1|}{|S_1|+|S_2|}$ no es sensical. Además, tenga en cuenta que esto implica que el resultado no tiene nada que ver con las elecciones de $a$ $b$ siempre y cuando ellos no son los mismos.

La forma correcta de formular esta declaración está utilizando la medida de Lebesgue. Precisamente, vamos a $a<b$. A continuación, $m(\mathbb{Q}\cap [a,b])=0$ donde $m$ es Lebesgue (exterior) medida.

Para probar esto, deje $\varepsilon >0$, vamos a $\{ r_k:k\in \mathbb{N}\}$ ser una enumeración de los racionales en $[a,b]$, y considerar el abrir de bolas $B_{\varepsilon /2^k}(r_k)$. A continuación, los racionales en $\mathbb{Q}$ están contenidas en las bolas, la suma de cuyas medidas (por definición) es $2\cdot \sum _{k=0}^\infty \frac{\varepsilon}{2^k}=4\varepsilon$. Como $\varepsilon$ es arbitrario, esto demuestra que $m(\mathbb{Q}\cap [a,b])=0$.

Supongo que técnicamente sería necesario conocer la definición de la medida de Lebesgue para ver que esto es en realidad una prueba, pero al menos creo que esto hace que la intuición claro que cualquier definición razonable de medida debe tener $m(\mathbb{Q})=0$.

Answer 2

La pregunta, tal como lo has dicho, no tiene sentido, porque no hay una operación para dividir cardenales infinitos.

Una pregunta alternativa sensata sería preguntar sobre la medida de Lebesgue de$A \cap \mathbb{Q}$ y$A$, y esos son$0$ y$b-a$, respectivamente. Mientras$b > a$, la proporción sea cero, aunque esto no fue lo que estaba preguntando.

Medir en una dimensión es análogo a la longitud, aunque aquí estamos hablando de la "longitud" de un subconjunto altamente irregular.

Answer 3

Pensé la misma pregunta. Hay diferentes cardinalidades de infinito, y hay infinidad muchos diferentes cardinalidad de los infinitos (Esto puede ser probado por la contradicción mostrando que un powerset tiene mayor cardinalidad que el conjunto original y asumiendo que hay una mayor cardinalidad). Por ejemplo, los números naturales y los números reales son ambos infinito sin embargo los números reales cardinalidad es mayor.

También es cierto que la cardinalidad del poder conjunto de los números naturales es igual a la de los números reales. Dado que para ser cierto, si nos tomamos el juego de poder de cualquier conjunto infinito de Una, ¿cuál es la probabilidad de elegir un elemento de Una de las powerset de Una?

Para el caso finito, podemos decir que la cardinalidad de a $|A| = k$, para algunas de las $k \in \mathbb{N}$, que el juego de poder, voy a denotar $\mathcal{P}(A)$, tiene la cardinalidad $|\mathcal{P}(A)| = 2^k$ (Esto se puede probar por inducción). Por lo tanto, la probabilidad de elegir un elemento de $|A|$ del conjunto de $\mathcal{P}(A)$ (dado que la probabilidad es uniforme con la lebegue medida)$\frac{k}{2^k}$, y para el caso infinito tomamos el límite de $k\rightarrow \infty$ y tenemos que $\frac{k}{2^k} \rightarrow 0$.

Nota: la Cardinalidad es el número de elementos de un conjunto, y se denota por encima de los bares de todo el conjunto de $|D|$. Por ejemplo, para el conjunto de $D = \{a, b, c\}$, tendríamos $|D| = 3$. También la alimentación es el conjunto de los subconjuntos.

También, si he cometido algún error, por favor hágamelo saber.

TL;DR: La fracción de un conjunto infinito $A$ a su poder establecer $\mathcal{P}(A)$ converge a $0$ como la cardinalidad crece más allá de lo finito.

Answer 4

$$ \frac 1 2,\ \overbrace{\frac 1 3,\ \frac 2 3}^{\cdots\,/3},\ \overbrace{\frac 1 4,\ \frac 3 4}^{\cdots\,/4},\ \overbrace{\frac 1 5,\ \frac 2 5,\ \frac 3 5,\frac 4 5}^{\cdots\,/5},\ \overbrace{\frac 1 6,\ \frac 5 6}^{\cdots\,/6},\ \overbrace{\frac 1 7,\ \frac 2 7,\ \frac 3 7,\ \frac 4 7,\ \frac 5 7,\ \frac 6 7}^{\cdots\,/7}, \cdots\cdots $$ Cada número racional entre el $0$ $1$ aparece en esta lista. La medida de cada conjunto que contiene sólo un número racional es $0$. Por lo tanto, la medida del conjunto de todos ellos es $0+0+0+\cdots=0$. Pero la medida de todo el intervalo de $(0,1)$$1$.