El único equilibrio de Nash es que todo el mundo se somete $1$. Para ver esto, considere la posibilidad de cualquier otro conjunto de estrategias para todos los jugadores. Supongamos que cada jugador $i, 1 \le i \le n$ presenta números con un valor esperado de $p_i$ y que al menos uno de los $p_i$ es mayor que $1$. Entonces el valor esperado de la media de las entradas es de $\frac{p_1 + ... + p_n}{n}$, y debe haber al menos un jugador $j$ para que este promedio es menor que o igual a su número. Pero, entonces, el valor esperado de $\frac{2}{3}$ de la media debe ser estrictamente menor que $p_j$, así que el jugador $j$ tiene un incentivo para cambiar a un número inferior.
Este es un ejemplo curioso. Aunque el equilibrio de Nash sugiere que jugando $1$ debe ser una estrategia óptima, en la práctica, siempre perderás cuando usted hace esto. El problema, creo, es que sólo tiene sentido adoptar el equilibrio de Nash de la estrategia de si esperar que todo el mundo a jugar de manera óptima, pero en la práctica la mayoría de la gente no creo que este juego a través suficiente para encontrar el equilibrio de Nash de la estrategia. He jugado a este juego un par de veces, y lo que parece ser el caso en la práctica es que a la mayoría de los jugadores puede asociar un número$n$, que el número que elija, es $\left( \frac{2}{3} \right)^n$ veces el máximo. Me gusta pensar que de $n$ como ser una medida aproximada de lo mucho que los jugadores de pensar en el futuro, ya que uno puede pensar de $n$ como el número de veces que se llame a sí misma a través del siguiente argumento:
- Desde el máximo que se puede jugar es $1000$, el máximo que el promedio podría ser es $\frac{2}{3} \cdot 1000$, así que nunca debe adivinar más que eso.
- Pero ya que nadie debe adivinar más de $\frac{2}{3} \cdot 1000$, el máximo que el promedio podría ser es $\left( \frac{2}{3} \right)^2 1000$, así que nunca debe adivinar más que eso.
- Pero...
y así sucesivamente. Si las personas que usted está jugando con son lo suficientemente inteligentes, $n$ va a medir algo mucho más complicado: cada jugador va a estar tratando de adivinar hasta qué punto los demás pensar en el futuro, y, a continuación, adivinando lo lejos que todos los demás se imagino lo mucho que todo el mundo piensa por adelantado, y luego... este fenómeno, en mi opinión, es mucho más interesante que los equilibrios de Nash; creo que está relacionado con la idea de conocimiento común.
(La última vez que jugué a este juego, los números posibles que se $0$ a través de $100$. Yo y otra persona presentada $100$ sólo para deshacerse de los resultados. El promedio real terminó siendo algo como $19$. Así que aquí $n \approx 9.7$.)
Finalmente, he aquí un lindo observación. En general, la existencia de equilibrios de Nash puede ser comprobada mediante el Brouwer teorema de punto fijo. El segundo argumento que me dio anteriormente, establece la existencia y unicidad) del equilibrio de Nash utilizando esencialmente el punto fijo de Banach teorema.
