Cómo mostrar que un mapa continuo en un espacio métrico compacto debe arreglar algunos conjuntos no vacíos.

Question

Supongamos que$(X,d)$ es un espacio métrico compacto y$f:X\to X$ un mapa continuo. Muestre que$f (A)=A$ para algunos no vacios$A\subseteq X.$

Empiezo esto suponiendo que$A_0:=X$ y$A_{n+1}:=f(A_n)$ para todos$n \geq 0$. Si$A_n=A_ {n+1}$ para algunos$n$ entonces el propósito está hecho. Pero si no, ¿cómo podemos pensar más?

Answer 1

En primer lugar, mostrar que cada uno de sus $A_n$ es cerrado en $X$. También es útil tener en cuenta que $A_{n+1}\subseteq A_n$ todos los $n$.

A continuación, vamos a $A=\cap_{i=1}^n A_n$ $A_n$ a partir de su definición.

Mostrar que $f(A)=A$.

Por último, si $A$ está vacía, muestran que $\cup_n (X\setminus A_n)$ es una cubierta abierta de a $X$. Podemos encontrar un número finito de sub-portada de esta portada?

(Como alternativa, también puede utilizar la secuencia de definición de compacidad en espacios métricos. Elija cualquiera de los $x_0\in X= A_0$. Definir $x_{n+1}=f(x_n)$. A continuación,$x_n\in A_n$. La secuencia debe tener un convergentes larga - muestran que el límite de esa larga es en $A_n$ todos los $n$.)