Encuentra dos enteros positivos $x$ y $y$ tal
$$\sqrt{69+20\sqrt{11}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$$
He trabajado intensamente con esta tarea pero realmente no puedo encontrar una solución a este problema. Espero que pueda obtener una pista aquí.
Elevando al cuadrado ambos lados se obtiene $$\begin{array}{rrcl}&69+20\sqrt{11}&=&x+2\sqrt{xy}+y \\\implies &69+2\sqrt{1100}&=&(x+y)+2\sqrt{xy}\end{array}$$ Si se comparan ambos lados se puede ver que un buen candidato es un par $(x,y)$ tal que $$\begin{cases}x+y=69 \\ xy=1100\end{cases}$$ De estas ecuaciones se puede deducir que $$x(69-x)=1100 \implies x^2-69x+1100=0 \implies(x-44)(x-25)=0$$ que da $x=44$ o $x=25$ . Sustituyendo $x$ en la ecuación anterior da lugar a dos posibles soluciones $$(x,y)=(44,25) \qquad \text{ or } \qquad (x,y)=(25,44)$$
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
0 votos
Cuadra ambos lados. Tendrás algunos términos con raíces y otros sin ellas. Iguala los términos sin raíces (ecuación lineal en x e y). Iguala los términos con raíces y comprueba si puedes reducirla a xy = 1100. Combínalo con la ecuación lineal para obtener una cuadrática para x y así sucesivamente...