$$\frac{1+\sqrt{2} + ... + \sqrt{N}}{N} - \frac{2}{3}\sqrt{N} \to 0.$$
La sugerencia dada en la pregunta es esta: elegir las sumas de Riemann y la estimación de la aproximación de error.
Mi trabajo actual:
$$\frac{1+\sqrt{2} + ... + \sqrt{N}}{N} - \frac{2}{3}\sqrt{N}$$
$$=: A_n =(\sum_{k=1}^N \sqrt{k}\frac{1}{N}) - \frac{2}{3}\sqrt{N}$$
El primer término es en la forma de una suma de Riemann, por lo tanto, dejar de N ir hasta el infinito, vemos que la malla(p) tiende a cero, para algunos partición p, que da a la (incorrecta) de Riemann integral, sobre el intervalo [1,N]:
$$\lim_{N->\infty}\int_1^N \sqrt{x}dx$$
La evaluación de la integral, sin evaluar el límite, se obtiene:
$$\frac{2}{3}N^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}$$
A continuación, $$A_n = \frac{2}{3}N^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} - \frac{2}{3}\sqrt{N}$$
Y aquí es donde actualmente estoy atascado. La ecuación anterior es un poco sospechoso, porque dejé N ir hasta el infinito para obtener la integral impropia, mientras que yo no hice nada con el $\frac{2}{3}\sqrt{N}$ plazo -- y sólo se incluye este término en la ecuación, ya que siento que se me acerque un poco más a hacer algún tipo de aproximación.
Todas las sugerencias serán bienvenidos.
Gracias,
