¿Hay algún criterio para que$S+T$ sea una subrng?

Question

Aquí hay un criterio para grupo.

Deje que$G$ sea un grupo y$H,K$ sean subgrupos de$G$.

Entonces,$HK$ es un subgrupo de$G$ iff$HK=KH$.

Así, tengo curiosidad por saber si existe un criterio similar para rng

Es decir:

Deje que$R$ sea un rng y$S,T$ sea subrngs de$R$.

¿Hay algún criterio para que$S+T$ sea una subrng?

Answer 1

Para que$S+T$ sea un subring, debemos tener eso para cada$s,s'\in S$ y$t,t'\in T$,

PS

Ya que$$(s+t)(s'+t')=ss'+st'+ts'+tt'\in S+T$ y$ss'+tt'\in S+T$ se cierra bajo adición, el requisito es equivalente a decir que$S+T$ para todos$st'+ts'\in S+T$ y$s,s'\in S$. Por lo tanto,$t,t'\in T$ es un subring si y solo si$S+T$ $