¿La serie converge?

Question

Sabemos que todas las series de la siguiente forma divergen: \begin{equation} S_k = \sum_{n=\left\lceil \mathrm{e}^k \right\rceil}^\infty \frac{1}{n (\ln n) (\ln \ln n)\dots(\ln^k n)} \end{equation} donde la notación $\ln^k$ es función de la composición. Además, esta serie es muy interesante, porque por un gran $k$, que difiere muy poco a poco.

A continuación, realiza las siguientes series convergen? \begin{equation} S = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{f(n)} \end{equation} donde $f(n)$ se define de forma recursiva por la forma monotónica \begin{equation} f(n) = \begin{cases} n & \text{if }n \le \mathrm{e} \\ n \cdot f{\left(\ln n\right)} & \text{otherwise} \end{casos} \end{equation}

Los primeros términos de esta serie \begin{equation} 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3 \ln 3} + \frac{1}{4 \ln 4} + \dots + \frac{1}{16 (\ln 16) (\ln \ln 16)} + \dots \end{equation}

y la potencia máxima de $\ln$ en el denominador aumenta poco a poco.

Esta serie, finalmente, debe crecer más lento de todos $S_k$ (que es en cierto sentido un límite) debido a que los términos eventualmente caer por debajo de los de $S_k$ cualquier $k$. Pero al mismo tiempo parece crecer más rápido que todas las series de la forma \begin{equation} T_k = \sum_{n=\left\lceil \mathrm{e}^k \right\rceil}^\infty \frac{1}{n (\ln n) (\ln \ln n)\dots(\ln^{k-1} n){(\ln^k n)}^2} \end{equation} que son conocidos a converger, aunque también muy lentamente.

Answer 1

Como$f$ es monotónico, podemos usar la comparación integral. Para cualquier$u \geqslant e$ fijo, tenemos

PS

Desde que tenemos

PS

donde$$\int_u^{e^u} \frac{dx}{f(x)} = \int_u^{e^u} \frac{1}{f(\ln x)} \frac{dx}{x} = \int_{\ln u}^u \frac{dt}{f(t)}.$ y$\int_1^e \frac{dx}{f(x)} > 0$ para todos$$\int_1^{\infty} \frac{dx}{f(x)} = \sum_{k = 0}^{\infty} \int_{x_k}^{x_{k+1}} \frac{dx}{f(x)} = \sum_{k = 0}^{\infty} \int_1^e \frac{dx}{f(x)} = +\infty,$. Así, la integral y, por tanto, la serie diverge. Muy muy lentamente.