Calculadora de mano Casio frente a Mathematica en (1+1/n)^n

Question

La calculadora CASIO fx-7400G es muy rápida haciendo $(1+1/1000000)^{1000000}$ con un resultado de $2.718280469$ .

Mathematica (v7) tarda más de un minuto, funcionando en un procesador Intel Core2 Duo, y su resultado es este:

Con $n=10000000$ se me acabó la paciencia. La calculadora vuelve a ser rápida con una salida de $2.718281693$ .

¿Alguien sabe por qué ocurre esto?

Answer 1

Pruebe

N[1 + 1/100000000000000, 2000]^100000000000000

que hace que Mma hacer el cálculo con números de coma flotante (pero utilizando 2000 dígitos exactos, ¡mucho más que tu calculadora!) en mi ordenador,

In[41]:= Timing[N[1 + 1/100000000000000, 2000]^100000000000000]

Out[41]= {0.001999, 
2.71828182845903164395114517625107361345759538109318401368108700081263
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2825230612837327582882359132201752486932090411441742152459981748434424
6796125955942676709724311384945123182525138185474706841748184641523835
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4890277526840712036588689004850449217720498524694546241483265385120337
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0222776646139077637586730556318554208747513123989912904288599990729397
4105912301684777926066523131379164170616992617301710309080427339172694
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5239391867955746777742097465819430570361920416259681558416618161699424
5237267230224583604177051168028000345047412788448526660107314695031108
5918243291907671190858585383905903649083888525646705126721235172922992
7474539583108858881111281802649615453982269311194004892438663488977893
2481678450112257387961011092938028584251024526367562391996230685117325
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1241283875634170613592405031777334496908146321259758762276254422018659
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3501718283248275223376526908879174360214195321187111170739858908536480
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2555386293362518511636564659786083245494967887013590756572099854766124
625831647757374695456737571}

tarda 0,002 segundos.

Answer 2

Los sistemas de álgebra computacional de propósito general, a diferencia de la mayoría de las calculadoras, son capaces de realizar tanto cálculos exactos/simbólicos (por ejemplo, aritmética entera exacta) como cálculos numéricos aproximados (por ejemplo, coma flotante). Por lo tanto, si presentas el problema en términos exactos, como en el caso anterior, conservarán esa forma para no perder información. Así, su problema se interpretará como un cálculo en aritmética racional exacta, es decir, elevar un número racional a una potencia entera. Si, por el contrario, desea una aproximación real del resultado, deberá especificarlo explícitamente, por ejemplo, utilizando N[...] en Mma. Ésta no es más que una de las muchas complejidades que surgen cuando se pasa de sistemas de cálculo de propósito especial (por ejemplo, calculadoras) a sistemas de álgebra computacional de propósito general (hablo como alguien que a menudo ha intentado abordar complejidades menos triviales de este tipo mientras trabajaba como desarrollador del sistema de álgebra computacional Macsyma).

Answer 3

Creo que su calculadora podría utilizar $$ a^b = \exp(b\ln a)$$ junto con $\exp$ y $\ln$ tablas para acelerar las cosas.

Sé que yo lo haría =)