Evaluar $\sin(\sin(\cdots\sin(\sin(a)+a)\cdots+a)+a)$ límite como el número de términos que se extiende hacia el infinito

Question

Necesito ayuda para evaluar este límite:

$$ \lim_{n \to \infty }\underbrace{\sin( \sin( \cdots \sin( \sin(}_{\text{$n$ compositions}}\,\underbrace{a)+a)\cdots +a)+a)}_{\text{$n$ compositions}},$$

Sé que converge a un número específico, por ejemplo cuando uno toma un a $1$, el límite es de a $0.9345632\ldots$

Answer 1

Escribir $b_0=a$, $b_{n+1} = \sin(b_n+a)$. Estamos buscando los puntos fijos de esta secuencia $b_n$. Este es el límite de $L$. Por lo tanto el límite de $L$, suponiendo que la existencia y tal*, satisface $L=\sin(L+a)$. Yo no puedo dar una forma cerrada para $L$.

*Usted dijo usted sabe que converge a un número, así que no los incluyen.

Answer 2

La versión recursiva es \begin{align} x_0 &= 0 \\ x_{n+1} &= \sin(x_n + a) \end{align}

Un punto fijo de $f(x) = \sin(x + a)$ va a cumplir $$ x^* = f(x^*) = \sin(x^* + a) $$ y esto sería necesario para $$ x_{n+1} - x_n = \sin(x_n + a) - x_n $$ a desaparecer.

El caso de $a=1$ se muestra en la siguiente imagen:

con un punto fijo en $x^* \approx 0.93456$.