Definición de la convolución?

Question

¿Por qué utilizamos $x - y$ en lugar de $x + y$ en la definición de la convolución? Es la convención? (Si estamos pensando en las circunvoluciones como promedios ponderados, por ejemplo, frente a "buenos granos," debe hacer ninguna diferencia.)

Por qué $(f * g) (x) = \int f(y) g(x - y) dy$ en lugar de $(f * g) (x) = \int f(y) g(x + y) dy$?

Edit: me estoy dando cuenta que es realmente difícil elegir una mejor respuesta. Hay al menos tres muy buenos aquí.

Answer 1

De manera intuitiva, y abusando de la notación un poco, se puede considerar que la convolución como

$$ (f*g)(x) = \int_{p+q=x} f(p)g(q) $$

Esto deja claro que el $f*g = g*f$. Por otro lado, con su definición alternativa que podríamos conseguir $$ (f*'g)(x) = \int_{q-p=x} f(p)g(q) $$ y, por tanto,$(f*'g)(x) = (g*'f)(-x)$, que es descuidado por ninguna buena razón.

Answer 2

Considerar el discreto analógica: Dadas dos funciones $a:\>k\mapsto a(k)$ $b:\>l\mapsto b(l)$ estamos recolectando (es decir, resumiendo) por $r$ todos los productos $a(k)\,b(l)$ donde $k+l=r$. Esta es la cosa correcta a hacer, por ejemplo, cuando la multiplicación de dos de alimentación de la serie $$a(z):=\sum_{k=0}^\infty a_k z^k, \quad b(z):=\sum_{l=0}^\infty b_lz^l\ .$$ A continuación, $c(z):=a(z)b(z)$ puede ser escrito como $c(z)=\sum_{r=0}^\infty c_r z^r$ $$c_r:=\sum\nolimits_{k+l=r} a_k b_l=\sum_{l=0}^r a_{r-l}\, b_l\qquad(r\geq0)\ .$$ Esto se expresa diciendo que la secuencia de $c:=(c_r)_{r\geq0}$ es la convolución de dos secuencias de $a:=(a_k)_{k\geq0}$$b:=(b_l)_{l\geq0}$,$c=a*b$.

Un argumento similar se puede poner adelante al tratar con la suma de dos variables aleatorias independientes $X$ $Y$ tener probabilidades de $p_k$ $q_l$ la asunción de los valores de $k$$l$, respectivamente.

Traduciendo esto en un ajuste continuo tenemos $$(f*g)(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x-t)\,g(t)\ dt\ ,$$ suponiendo que la integral en el lado derecho tiene sentido.

Answer 3

Se podría pensar en ejemplos sencillos como este:

Respuesta de impulso de la $g(x)$ es cero excepto para $x=10$, $g(10) = 1$. Esto podría significar "perro está ladrando 10 segundos después de que él ha visto a un gato".

A continuación, la convolución se puede explicar como: El volumen en el que el perro está ladrando en el tiempo t es la cantidad de gatos que ha visto 10 segundos antes de que el tiempo de $t$. Que es $t$ menos $10$ segundos.

Answer 4

Además de otros útiles comentarios, merece la pena destacar que pensar en términos de representaciones de un grupo topológico $G$ (en espacios vectoriales topológicos $V$) muestra lo que "convolución" debe ser, en la manera siguiente. Por simplicidad, supongamos $G$ es unimodular, en el sentido de que la izquierda y la derecha Haar medidas son las mismas.

Deje $G\times V\to V$ ser continua y un grupo de representación, por lo que incluyendo la asociatividad $g(hv)=(gh)v$ y que la identidad de $G$ actos trivialmente. Para una amplia clase de espacios vectoriales topológicos $V$ (casi completa localmente convexo, incluyendo Hilbert, de Banach, Frechet, LF, su débil dobles...) compacto-compatible funciones continuas $f$ $G$ act mediante la integración (por ejemplo, Gelfand-Pettis "débil" integrales suficiente) $$ f\cdot v \;=\; \int_G f(g)\;gv\;dg $$ Si queremos caracterizar una operación $f*F$ al exigir $(f*f)v=f(Fv)$, lo que nos lleva a a una expresión (o dos) para que la convolución: en primer lugar, $$ f(Fv) \;=\; \int_G f(g)\;g (Fv)\;dg \;=\; \int_G f(g)\g\Big(\int_G F(h)v\;dh\Big)dg \;=\; \int\int f(g)\,F(h)\,ghv\;dh\,dg $$ Hay al menos dos razonable de las opciones ahora: reemplace $g$ $gh^{-1}$ o reemplace$h$$g^{-1}h$. En el primero, se tiene $$ f(Fv) \;=\; \int\int f(gh^{-1})\,F(h)\;gv\;dh\,dg \;=\; \int\Big(\int f(gh^{-1})\,F(h)\,dh\Big)\,gv\;dg \;=\; \Big(g\a \int f(gh^{-1})\,F(h)\,dg\Big)\cdot v $$ lo que muestra que $$ (f*F)(g)\;=\; \int_G f(gh^{-1})\,F(h)\;dh $$ Para los números reales, esto le da a la $x-y$ en lugar de $x+y$. Pero, a mi juicio, un punto más importante es que podemos deducir de lo que convolución es, en lugar de "adivinar" una "definición" y "comprobar" si o no funciona como esperamos.

Answer 5

Por un lado, queremos convolución (un operador lineal) para ser connmutative. Que tiene para la definición tradicional

$$(f * g) (x) = \int f(y) g(x - y) dy =_{(z=x-y)}= \int g(z) f(x-z) dz = (g * f) (x)$$

Yo no se mantiene con los otros

$$(f * g) (x) = \int f(y) g(x + y) dy = \int g(z) f(z-x)dz$$

Bueno de otros bienes que nos faltaría es el teorema de convolución.