Si $h(x)=f(g(f(x)))$ es bijective, ¿qué sabemos acerca de $f,g$?

Question

Pregunta: Si $h(x)=f(g(f(x)))$ como una función de $\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ es bijective, ¿qué sabemos acerca de $f,g$, los cuales son también funciones de $\mathbb R \rightarrow \mathbb R$? Es mi prueba correcta?

Mi intento: $f$ debe ser inyectiva. Si no existe, no existe $a,b$ tal que $f(a)=f(b)$, pero, a continuación,$f(g(f(a)))=f(g(f(b)))$, lo que contradice el hecho de que $h$ es inyectiva.

$f$ debe ser surjective. Si hay un valor que no es tomado por $f$, entonces ciertamente no es tomada por $h(x)=f(g(f(x)))$, contradiciendo que es bijective.

Supongamos que no existe $a,b$ tal que $g(a)=g(b)$. Debido a $f$ es surjective, $a,b$ están en el rango de $f$, y por lo tanto no existe $c,d$ tal que $g(f(c))=g(f(d))$, y por lo tanto $f(g(f(c)))=f(g(f(d)))$, lo que contradice el hecho de que $h$ es inyectiva. Por lo tanto, $g$ es inyectiva.

Desde $f$ es bijective, hay un único $x$ tal que $f(x)=p$. Si $x$ no está en el rango de $g$, $p$ no está en el rango de $h(x)=f(g(f(x)))$, contradiciendo que es surjective. Por lo tanto todos los números reales están en el rango de $g$, lo $g$ es surjective.

Por lo tanto, $f$ $g$ son bijective.

Es esto una prueba de la correcta?

Answer 1

La prueba está bien. También vale la pena señalar que demostrando $g$ es bijective pudo llevarse a cabo teniendo en cuenta la inversa de a $f$ (hay una relación inversa debido a que $f$ es bijective). A continuación, $$h = f \circ g \circ f \implies f^{-1} \circ h \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f \circ g \circ f \circ f^{-1} = g,$$ por lo $g$ es la composición de los tres bijections, y por lo tanto es bijective.