$\sum u_n$ converge $\implies$ $\lim_{n \to \infty} n u_n = 0$.

Question

He estado trabajando un poco en esta prueba y de la lectura de algunos consejos de personas que se han publicado aquí, y creo que me han reconstruido las pruebas posibles. Agradecería si alguien pudiera mirar y verificar. Estoy preocupado de que podría haber algo de saltos de lógica. El teorema es de Schaum del Cálculo Avanzado libro.

Teorema: Si $\sum u_n$ converge, donde$u_n \geq 0$$n > N$, y si $\lim\limits_{n \to \infty} n u_n$ existe, demostrar que $\lim\limits_{n \to \infty} n u_n = 0$.

Prueba. Supongamos que, por una contradicción, que $\lim\limits_{n \to \infty} nu_n \neq 0$. Puesto que se da por supuesto, debe ser igual a algún número finito, digamos, $L$. Desde $u_n$ converge por supuesto, tenemos $\lim\limits_{n \to \infty} u_n = 0$. Utilizando el límite del producto de la regla, tenemos \begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty} nu_n = \lim\limits_{n \to \infty} n \cdot \lim\limits_{n \to \infty} u_n = \lim\limits_{n \to \infty} n \cdot 0 = 0 \end{align*} lo cual es una contradicción. Por lo tanto, $\lim\limits_{n \to \infty} nu_n$ debe ser igual a $0$.

Parece que podría estar haciendo excessie lepas aquí, y yo no uso el supuesto de que $u_n \geq 0$, a pesar de que hago uso de convergencia. Realmente agradecería cualquier útiles los comentarios de la gente puede tener en este.

Answer 1

Comentario en la Solución de

Tenga en cuenta que $$ \lim_{n\to\infty}nu_n=\lim_{n\to\infty}n\lim_{n\to\infty}u_n $$ sólo es cierto si los límites en el derecho de existir. Sin embargo, $\lim\limits_{n\to\infty}n$ no existe.

Tenga en cuenta que, por el razonamiento de la pregunta, si $u_n=\frac1n$, entonces tendríamos $$ 1=\lim_{n\to\infty}\overbrace{nu_n\vphantom{\lim_{n\to\infty}}}^1=\lim_{n\to\infty}n\overbrace{\lim_{n\to\infty}u_n}^0=0 $$

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Respuesta

Si $\lim\limits_{n\to\infty}nu_n=L\gt0$, entonces hay algunas $N$, de modo que para$n\ge N$,$nu_n\ge\frac L2$. Entonces $$ \sum_{n=N}^\infty u_n\ge\sum_{n=N}^\infty\frac L{2n} $$ que diverge.

Si $\lim\limits_{n\to\infty}nu_n=L\lt0$, la serie diverge del mismo modo, incluso si no tenemos $u_n\ge0$.

Por lo tanto, si el límite existe, debe ser de $0$.