Imagínese que usted está caminando a lo largo del plano xy. Hay un hito en el origen del plano que distorsiona el tiempo en cada punto en el plano, tales que la distorsión es una función de la distancia entre ese punto y el origen. Lo que esto significa es que, si usted está tratando de llegar del punto a al punto B, usted querrá permanecer a una distancia razonable de distancia desde el origen, debido a que el costo de mover una unidad de distancia es mayor cuanto más nos acercamos al origen.
Lo que estoy tratando de hacer es, dados dos puntos a y B, hallar el camino de a a B, lo que minimizará el costo de los viajes: "subjetivo distancia".
El primer paso, entonces, es construir una ecuación para representar el costo de un camino dado; el segundo paso es encontrar un camino que minimiza el coste que, mediante el Cálculo de Variaciones.
La ecuación de la distorsión temporal que le es dado como $\tau = C r^{-n} + 1$, donde r es la distancia desde el origen.
Si definimos la ruta de acceso como $r(\theta)$, entonces el costo de viajar de a a B, debe ser $\int_{r(\theta)} C r^{-n} + 1 ds$ o $\int_{\alpha}^{\beta} \left( C \left[r(\theta)\right]^{-n} + 1 \right) \sqrt { \left[ r(\theta) \right]^2 + \left[ r'(\theta) \right]^2 } d\theta $.
Ahora, con el fin de encontrar una $r(\theta)$ de manera tal que la integral se reduce al mínimo, voy a utilizar el Beltrami de Identidad (debido a que no hay $\theta$ plazo en la integral!), que se da como
$$ L - r' \frac{\partial L}{\partial r'} = const $$
donde L es el integrando de arriba.
Así que encontrar la derivada parcial:
$$ \begin{align} &\frac{\partial}{\partial r'} \left[ \left( C r^{-n} + 1 \right) \sqrt{ r^2 + r'^2 } \right]\\ &{} = \left( C r^{-n} + 1 \right) \frac{\partial}{\partial r'} \sqrt{ r^2 + r'^2 }\\ &{} = \left( C r^{-n} + 1 \right) \cdot \frac{1}{2} \left( r^2 + r'^2 \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2r'\\ &{} = \frac{r' \cdot \left( C r^{-n} + 1 \right)}{\sqrt{r^2 + r'^2}} \end{align} $$
Y me sustituir en la Beltrami Identidad:
$$ L - r' \frac{\partial L}{\partial r'} = const\\ \left[ \a la izquierda( C r^{-n} + 1 \right) \sqrt{ r^2 + r^2 } \right] - r' \frac{r' \cdot \left( C r^{-n} + 1 \right)}{\sqrt{r^2 + r^2}} = const\\ \frac{\left( C r^{-n} + 1 \right) \left( r^2 + r^2 \right)}{\sqrt{r^2 + r^2}} - \frac{\left( C r^{-n} + 1 \right) r'^2}{\sqrt{r^2 + r^2}} = const\\ \frac{\left( C r^{-n} + 1 \right) r^2}{\sqrt{r^2 + r^2}} = const $$
Esta es la ecuación diferencial que tengo que resolver para encontrar la trayectoria óptima.
Sin embargo, esta no puede ser la correcta ecuación diferencial. Podemos observar que la $r = const$ es una solución para esta ecuación diferencial, pero si dejamos que C sea igual a 0, entonces la distorsión desaparece... lo que quiere decir que la distancia más corta entre dos puntos en un plano normal es un arco circular entre ellos. Lo cual es incorrecto.
No soy capaz de encontrar un punto en mi ecuación donde supuse $C \neq 0$, así que debo haber hecho algo mal algebraicamente... o conceptualmente. Puede alguien irregular de mi error?
