Una condición suficiente para que los $\eta$-cocientes sean formas modulares

Question

Sea $f$ la forma : $$f(\tau)=\prod_{M\mid N}{\eta(M\tau)^{a_M}} \quad (\tau \in \mathcal{H})$$ Generalmente, decimos que $f$ es un cociente de $\eta$ cuando $(a_M)$ es una secuencia de enteros. Se pueden encontrar condiciones sobre $(a_M)$ para que $f$ sea una forma modular de peso $k$ invariante bajo $\Gamma_0(N)$ (con un carácter $\chi$) : $$\frac{1}{2}\sum_{M\mid N}{a_M}=k$$ $$\forall c \mid N, \quad\frac{1}{24}\sum_{M\mid N}{\frac{\operatorname{gcd}(c,M)^2}{M}a_M} \in \textbf{Q}_{+}$$ (referencia: http://www.beck-shop.de/fachbuch/leseprobe/9783642161513_Excerpt_001.pdf). Pero con esas condiciones, ¿por qué debemos imponer que $\left\{a_M\right\}\in \textbf{Z}$ y no $\left\{a_M\right\}\in \textbf{Q}$?

¡Gracias!

Answer 1

Nota al margen: Esta respuesta implica adivinar, y no me agrada particularmente. De hecho, lo había eliminado, pero algunos usuarios aparentemente lo han encontrado mejor que nada y han votado con éxito para deshacer la eliminación. Bueno entonces.

¿Por qué solo exponentes enteros?

• Nada te impide elegir $a\in\mathbb{Q}$ y definir adecuadamente una potencia del discriminante modular normalizado de la misma forma en que se ha definido la función eta de Dedekind usando $a=\frac{1}{24}$. El discriminante es finito y distinto de cero en $\mathbb{H}$, por lo tanto, sus potencias fraccionarias no tienen puntos singulares en $\mathbb{H}$, y obtienes una función univaluada adecuada como resultado.
• Por supuesto, el periodo real de la función resultante entonces cambia al denominador (reducido) de $a$, pero tales consideraciones ya han sido dominadas para la función eta de Dedekind, y uno podría trabajar de nuevo todos los detalles necesarios: El nuevo sistema de multiplicadores, por ejemplo.
• Al menos la fórmula de peso que has mencionado se transferiría de forma análoga.

Pero:

• Otras partes pueden no transferirse. Por ejemplo, Newman 1958, al trabajar en los criterios de formas modulares de $\Gamma_0(N)$ para cocientes de eta (presumiblemente sin ser tan permisivo como para permitir sistemas de multiplicadores no triviales), tuvo que distinguir entre $N$ coprimo con $6$ y el caso general más complicado. Espera que tales cosas se vuelvan más complicadas cuando el denominador de $a$ tenga factores distintos de $2$ y $3.
• Si el denominador de $a$ no divide a $24$, la serie $q$ para $(q^{-1}\Delta)^a(\tau) = \prod_{n=0}^\infty(1-q^n)^{24a}$, donde $q=\exp(2\pi\mathrm{i}\tau)$, ya no tiene coeficientes enteros únicamente. Ahora, muchas investigaciones concretas trabajan con comparaciones de series de potencias truncadas, o examinan propiedades aritméticas como la multiplicatividad, y tener que lidiar con fracciones ahí sería, bueno, eh, no exactamente algo que detenga el espectáculo (supongo), pero al menos desagradable. La mayoría de los investigadores no lucharían con un cerdo sin una buena razón.

Supongo que esas son las razones principales.