Problemas de mecánica básica, irresolubles por integración numérica de fuerza bruta

Question

Estoy buscando problemas sencillos de mecánica teórica que sean imposibles o irrazonablemente difíciles de resolver mediante la integración numérica por "fuerza bruta" de Newton o Euler-lagrange ecuaciones.

Me interesan porque me he dado cuenta de que ese tipo de nihilismo El punto de vista de "la vida" se está haciendo popular (al menos entre algunos estudiantes): Una persona dice, que " al final de todos modos hacemos cosas reales por simulación informática . Y para los valores numéricos de los parámetros solemos ser capaces de obtener numéricamente el resultado con una precisión determinada. Así que sólo tenemos que saber escribir las ecuaciones ".
Y, por lo tanto, " no hay necesidad de aprender todas esas cosas complicadas de la mecánica teórica ".

Aparte de los contraargumentos obvios para esto, me gustaría demostrar que hay problemas básicos que no se pueden resolver sin "lo complicado".
Permítanme dar un ejemplo de este problema:
Dada:

1. Un centro, que crea algún campo extraño con el potencial $U(r)=-\frac{\alpha}{r^3}$ . (Planeta misterioso)
2. Un cuerpo con masa $m$ dispersándose fuera de este centro. (Nuestra nave espacial.)
3. Un radio R, en el que queremos permanecer el mayor tiempo posible.

Encuentra: el parámetro de impacto $\rho$ y la energía $E_0$ para nuestro cuerpo, por lo que se mantendrá en el "anillo" $R<r<2R$ durante el mayor tiempo posible.

El problema se formula fácilmente. Y es fácil de resolver incluso para los "novatos" en mecánica teórica. La característica específica del problema es que no hay una forma razonable de resolverlo mediante una simulación informática directa.

¿Puede proponer otros ejemplos de problemas con estas propiedades?

Answer 1

Recuerdo que durante mi doctorado tuve una discusión con mi colega sobre problemas de mecánica que aún no estaban resueltos. Mencionó que no estaba demostrado matemáticamente que una moneda que cae al suelo, al asentarse, se acelere y produzca ese característico "sonido de timbre". No sé cuál es el estado actual de ese problema y cómo buscarlo, ya que no conozco el nombre del problema, si es que lo tiene. Pero parece algo interesante. Parece que la dificultad para resolver este problema es ver hasta dónde se puede simplificar sin desechar lo esencial para explicar el fenómeno.

Answer 2

Creo que se trata de definir lo que se entiende por "resolver". Todos los problemas físicos, sobre todo en mecánica clásica, pueden plantearse como ecuaciones diferenciales para las que se pueden encontrar soluciones (es decir, trayectorias de las variables dependientes) al menos mediante integración numérica. En este sentido, que yo sepa, nadie ha identificado ningún fenómeno no computable en la física. *

Sin embargo, esto no significa que todas las cantidades de interés (que no son variables dependientes explícitas en sus ecuaciones diferenciales) puedan salir simplemente de un programa de ordenador. Los ordenadores sólo pueden dar respuestas a cuestiones que se definen de forma perfecta y precisa, y el mejor ejemplo es una EDP para la que se quieren soluciones numéricas.

Un ordenador puede darte valores precisos para el parámetro de impacto y la energía que has pedido en tu pregunta, pero para que lo haga tendrás que definirle al ordenador qué son el parámetro de impacto y la energía, y al intentarlo habrás resuelto tu problema de mecánica :)

En resumen, es fácil pedirle a un ordenador las trayectorias, ya que puede calcularlas a partir de los (P)DE pertinentes. Pero para obtener otras cantidades de interés, como la energía o el parámetro de impacto, habrá que extraerlas de la física del problema y traducirlas a una forma que el ordenador entienda, lo que implica esencialmente hacer algo más de trabajo en papel.

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* (¿Hay una forma mejor de dejar una nota a pie de página?) Por supuesto, probablemente ya sepa que la mayoría de los problemas no se pueden resolver analíticamente (el ejemplo clásico es el problema de los tres cuerpos) y también que los problemas numéricos más interesantes son sencillamente intratables, siendo el ejemplo más destacado la simulación cuántica de sistemas de muchos cuerpos en la física de la materia condensada.

Además, si resulta que alguna física nueva que se descubra es realmente no computable, hay quienes afirman que podría ser relevante para el problema de la conciencia (Véase "Shadows of the Mind" de Penrose - y le dejaré que sea usted quien juzgue eso)

Answer 3

No sé si se ha mencionado, pero el clásico problema del cuerpo N es intratable desde el punto de vista computacional. De ahí todos los métodos estadísticos cuando N es algo grande. Esto se debe a que el problema es efectivamente O(N!) ya que cada cuerpo debe interactuar con todos los demás.

Answer 4

El Reto de los 100 dígitos de SIAM me viene a la mente. El problema 10 da una idea del tipo de problemas planteados en este desafío:

Una partícula en el centro de un rectángulo de 10 x 1 se difunde hasta llegar al límite. ¿Cuál es la probabilidad de que impacte en uno de los extremos cortos (y no en uno de los lados largos)?

La respuesta tiene que ser precisa con al menos 10 dígitos. Y no, un Monte Carlo sencillo no te va a ayudar.

Y... hay una solución exacta...

No se trata de un problema estrictamente mecánico, pero transmite el mensaje de que ciertos problemas de física se resuelven mejor de forma analítica. Si insiste en un problema mecánico, debería ver el problema 2, que es básicamente un problema de billar.

Answer 5

Creo que se puede construir un ejemplo de este tipo considerando las propiedades a gran escala o la evolución de algún sistema caótico, como un gas, tendrías un problema (de tiempo) si tuvieras que seguir cada partícula en CM, pero las fórmulas termodinámicas dan respuestas instantáneas.

Editar: Este: Dadas dos partículas puntuales, ¿impactarán alguna vez? GL simulando y comprobando r(t)=0. Mientras que la consideración del momento angular da una respuesta instantánea.