Mostrar que una función de $G : [0,1) \times [0,1) \rightarrow [0,1)$ no es un surjection

Question

Mientras demostraba $|\Bbb C|=|\Bbb R|$ en Apenas y Weese del Conjunto de el libro de la Teoría, construir una función de $G : [0,1) \times [0,1) \rightarrow [0,1)$ donde $\langle x,y\rangle \in [0,1) \times [0,1)$ tal que $x = +.x_0x_1x_2...$ $y=+.y_0y_1y_2...$ $G(x,y) = +.x_0y_0x_1y_1x_2y_2...$

Es claro para mí por qué esta función es uno a uno, sin embargo, hace el comentario de que no se asigne $[0,1) \times [0,1)$ a $[0,1)$. Pero ya que cada dígito de $z\in G$ es libre para ser cualquier número del 0 al 9, sin restricción alguna, soy llevado a la conclusión de que G es sobre. Supongo que una solución sería crear una función que altera $z$ de tal manera que no puede ser escrito como $+.x_0y_0x_1y_1x_2y_2...$ sin embargo no puedo encontrar una función de este tipo.

Answer 1

Usted debe primero resolver algunas convención en cuanto a qué hacer con los números de la admisión de dos decimales diferente de las representaciones, de lo contrario las funciones $G$ no está definido. Cualquiera sea la opción que tomemos, considerar $x=0.1919191919191919191919....$. No puede ser la imagen de la función $G$, ya que la única manera de intercalar dos decimales representaciones para obtener el $x$$G(0.11111....,0.99999.....)$. Sin embargo, la pareja no está en el dominio de la función.