Haga esta derivación visual

Question

¿Es ésta la forma correcta de hacer esta visualización de la derivada del seno más... rigurosa? Al menos, para $u\in(0,\pi/2)$ .

Prestado de Pruebas sin palabras . Para tratar de hacer esto riguroso, argumenté que cuando $u\pm\Delta u$ está en el primer cuadrante, que tenemos los siguientes límites obtenidos geométricamente:

$$\frac{\sin(u+\Delta u)-\sin(u)}{\Delta u}<\cos(u)<\frac{\sin(u-\Delta u)-\sin(u)}{-\Delta u}$$

donde $\Delta u>0$ . A partir de esto, pensé que la derivada del seno viene trivialmente, aunque me pregunto si esto podría ser más riguroso.

Answer 1

Como he mencionado en mi comentario, no es posible añadir rigor a la cifra existente que figura en su pregunta. Tenga en cuenta que el diagrama si se dibuja correctamente muestra que el ángulo marcado $u$ en el triángulo más pequeño es en realidad ligeramente mayor que $u$ . Más concretamente, sabemos que $$\sin (u + \Delta u) - \sin u = 2\cos \left(u + \frac{\Delta u}{2}\right)\sin\frac{\Delta u}{2}$$ y observando la desigualdad $\sin x < x$ vemos que $$\frac{\sin(u + \Delta u) - \sin u}{\Delta u} < \cos\left(u + \frac{\Delta u}{2}\right)$$ Obsérvese además que una demostración basada en una figura geométrica no es necesariamente no rigurosa, sino más bien hay tales pruebas geométricas que son completamente rigurosas . La falta de rigor en el escenario actual no proviene de la geometría sino de la interpretación errónea de la figura geométrica de forma que un ángulo que no es exactamente $u$ se marca / interpreta como $u$ .