$f$ continua en $\overline{D} \setminus \{1\}$ , holomorfo y acotado en $D$ . Entonces $f$ alcanza su supremacía en el límite

Question

Dejemos que $D$ sea el disco de la unidad, $f$ continua en $\overline{D} \setminus \{1\}$ , holomorfo y acotado en $D$ . El problema es demostrar que para todo $z \in D$ , $$|f(z)| \leq \sup\limits_{|\zeta| = 1, \zeta \neq 1} |f(\zeta)|$$ Estoy atascado. Aquí hay dos enfoques que he intentado:

I . $f$ está representada por una serie de potencias convergentes $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n z^n$ , absoluta y uniformemente convergente para $|z| \leq r$ , donde $r < 1$ . No lo sé.

II . Para cada $0 < r < 1$ hay un ángulo $\theta \in (-\pi/2, \pi/2]$ tal que $|f(z)| \leq |f(r e^{i \theta})|$ para todos $|z| < r$ (principio del módulo máximo). Elija $\theta_r$ sea tal que $|\theta_r|$ es el supremum de todos los $|\theta|$ satisfaciendo la condición que acabo de mencionar. $\theta_r$ sería un límite de la $\theta$ Así que $|f(z_r)| \geq |f(z)|$ para todos $|z| < r$ por continuidad, donde $z_r$ se define como $re^{i \theta_r}$ . La idea es que estoy tratando de conseguir el $\theta_r$ para no estar demasiado cerca de $0$ Si es posible.

Ahora escoge cualquier secuencia de radios $r_1 < r_2 < \cdots $ que converge a $1$ . Entonces $|f(z_{r_1})| \leq |f(z_{r_2})| \leq \cdots$ y podemos elegir una subsecuencia convergente de la $z_n$ convergiendo a, digamos, $z_0 \in \partial D$ . Si $z_0 \neq 1$ está claro que hemos terminado.

Para ello, quiero encontrar una subsecuencia $z_{n_k}$ y un $\delta > 0$ , de tal manera que $|\theta_{r_{n_{k}}}| > \delta$ para todos $k$ . Entonces puedo elegir una subsecuencia convergente de esta subsecuencia para hacer el truco. Si esto es no posible, entonces es fácil ver que $z_n$ tiene que converger a $1$ como resultado. Las cifras $|f(z_n)|$ son no decrecientes y acotadas, por lo que $|f(z_n)|$ tiende a un límite como $z_n \to 1$ . Por cierto que elegí $z_n$ Esto demuestra que si $\theta_{r_n}'$ es otra secuencia de ángulos tal que el máximo de $f$ en $|z| = r_n$ se alcanza en $r_ne^{\theta_n'}$ entonces $r_ne^{\theta_n'}$ también va a $1$ .

No estoy seguro de que este enfoque vaya a ninguna parte.

Answer 1

Supongamos que $f$ es continua en $\overline D \setminus \{\zeta _0\}$ para algunos $\zeta_0 \in \partial D,$ con $f$ acotado y holomorfo en $D.$ Establecer $M = \sup \{|f(\zeta)|: |\zeta | = 1, \zeta \ne \zeta_0\}.$ Para $0<r<1$ set $f_r(z) = f(rz).$ Entonces por Cauchy,

$$f(0)= f_r(0) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\{|\zeta|=1\}}\frac{f_r(\zeta)}{\zeta}\,d\zeta.$$

Como $r \to 1^-, f(r\zeta) \to f(\zeta)$ en punto a $\partial D \setminus \{\zeta_0\}$ de la hipótesis de continuidad. Por el teorema de convergencia acotada,

$$f(0)= \frac{1}{2\pi i}\int_{\{|\zeta|=1\}}\frac{f(\zeta)}{\zeta}\,d\zeta.$$

Choque con los valores absolutos para ver $|f(0)|\le M.$

Consideremos ahora los automorfismos del disco $g_a(z) = (a-z)/(1-\bar a z), a \in D.$ Cada $f \circ g_a$ satisface las hipótesis anteriores, siendo esta vez el punto excepcional $(g_a)^{-1}(\zeta_0).$ De ello se desprende que

$$|f(a)|=|f\circ g_a (0)| \le M.$$

Desde $a$ es un punto de arbitraje en $D,$ hemos terminado.