Utilizando tan(x), demuestre que el intervalo abierto es difeomorfo con la recta real

Question

Este es el ejercicio 1.3 de An Introduction to Manifolds de Loring W. Tu

Quiero demostrar que $(a,b) \subset \mathbb{R}$ es difeomorfo con la línea real.

Estrategia:

1.) Quiero demostrar que $$f:(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\tan(x)$$ es un difeomorfismo. ¿Cómo puedo hacerlo?

2.) Sea $a,b$ dos números reales, $a<b$ . ¿Cómo puedo encontrar una función lineal $h:(a,b) \rightarrow (-1,1) $ Con otras palabras: ¿Cómo puedo demostrar que dos intervalos finitos cualesquiera son difeomorfos?

3.) ¿Puedo concluir que la composición de $f$ y $g$ es un difeomorfismo de un intervalo abierto con $\mathbb{R} ?$

Edición: Así que mi prueba será la siguiente:

$f(x)=\tan(x)$ , donde $f: (-\pi/2, \pi/2)\rightarrow \mathbb{R}$ . $f$ es suave, porque la derivada $1/\cos^2(x)$ es suave porque $cos(x)$ es suave y positiva en el dominio. En segundo lugar $f^{-1}=\arctan(x)$ es una función bien definida, lo que equivale a decir que f es una biyección. $\frac d{dx} \arctan(x) = 1/(1+x^2)$ por lo que esta función y todas sus derivadas son suaves $\rightarrow f^{-1}\in C^{\infty}$ . Por lo tanto, $f$ es un difeomorfismo.

Ahora $g:(a,b) \rightarrow (-1,1)$ , donde $g(x)=\frac 1{b-a}(x-a)-\frac1 2$ es un mapeo lineal, que es una biyección y ambos $g$ y $g^{-1}$ son suaves. $\implies$ dos conjuntos abiertos finitos son difeomorfos.

Considere la composición $f \circ g: (a,b)\rightarrow \mathbb{R} $ es un difeomorfismo, por lo que $(a,b)$ y $\mathbb{R}$ son difeomorfos.

Answer 1

Para i) utilizar que el arctán es la función inversa del tan, ambas son monótonas y la derivada del arctán es $$\frac{1}{1+x^2}$$ por lo que es difereciable.

para ii) no encontrarás una función lineal sino una función lineal afín, aquí una pista. Intenta escalar tu intervalo al diámetro correcto y di que $f(a)$ debe ser $-1$ y $f(b)=1$

iii) Sí. Existe una regla para encontrar la derivada de la composición de dos funciones.

Crítica sobre su prueba:

Al principio no has probado muy bien la biyección, ya que sólo dices que $f^{-1}$ es una función suave, aquí alguien podría decir que esto es circular, ya que no se sabe si $f^{-1}$ existe en absoluto.

En general no te compliques la vida, sólo necesitas $C^1$ no $C^\infty$ Aquí es el mismo trabajo, así que no importa.

Para su función $g$ es una función monótona creciente y $f(a)=-\frac{1}{2}$ y $f(b)=\frac{1}{2}$ por lo que no es una biyección.