Ideal de $\mathbb{Z}[x]$ generado por $3$ $x^2+1$ es correcto

Question

Deje $I$ a ser el ideal de $\mathbb{Z}[x]$ generado por $3$ e $x^2+1$. Mostrar que
1) $I$ es adecuada,
2) $\phi_a(I)=\mathbb{Z}$ para todos los $a\in\mathbb{Z}$, donde $\phi_a(I):=\{f(a)\mid f\in I\}$ (evaluación).

Mi intento: 1) $1\not\in I$. De lo contrario, deberíamos ser capaces de encontrar los números enteros $i_k, j_k$ tal que $i_kj_k\not=0$ e $1 = h(x)\cdot\sum_k 3^{i_k}(x^2+1)^{j_k}$ para algunos entero $k>0$ y para algún polinomio $h(x)\in\mathbb{Z}[x]$, desde el $I$ es generado por $3$ e $x^2+1$. Por lo $j_k=0$, $h(x)=n$: constante. y hemos distinto de cero $i_k,n$ : $1\not=n\cdot\sum_k 3^{i_k}$. Por lo tanto $1\not\in I$, e $I\not=\mathbb{Z}[x]$.

2) Si nos encontramos con $f$ tal que $f(a)=1$, a continuación, $\phi_a(I)=\mathbb{Z}$ para ese $a$ (debido a $I$ es un ideal de a$\mathbb{Z}[x]$, e $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Z}[x]$, $n\cdot f\in I\implies n\cdot f(a)\in\phi_a(I)$ para todos los $n\in \mathbb{Z}$). Así que la pregunta se reduce a encontrar $f$ generado por $3$ e $x^2+1$ tal que $f(a)=1$ por cada $a\in\mathbb{Z}$.

Yo lo he hecho algunos, como

$a=0\implies a^2+1=1$,

$a=\pm 1\implies 3-(a^2+1)=1$,

$a=\pm 2\implies 2\cdot 3-(a^2+1)=1$,

$a=\pm 3\implies (a^2+1)-3\cdot 3=1$,

$a=\pm 4\implies 6\cdot 3-(a^2+1)=1$....

Al principio, pensé que ya tiene algunos regla como $|a\cdot 3-(a^2+1)|=1$, pero se rompió en $a=\pm 4$.

Por lo que parece tener algún tipo de combinación de generadores para hacer $1$ por cada $a$, no sé lo que es la regla general.

Y me encontré con que esta función de evaluación es un homomorphism : $\phi_a(fg)=f(a)g(a)=\phi_a(f)\phi_a(g)$, de $\mathbb{Z}[x]$ a $\mathbb{Z}$, por lo que debe buscar $\ker \phi_a\subset I$... Si $\ker\phi_a\cap I\not=\emptyset$ para todos los $a$, entonces estoy hecho (desde $1\not\in I$).

Así que supongo que hay al menos dos maneras... es encontrar una fórmula general o regla para $f$, y el otro es para mostrar que el núcleo de la evaluación de la función intersecta $I$... y ambos son difíciles para mí ahora.

Cualquier sugerencia será bienvenida.

PD: Es mi respuesta para 1) correcto?

Answer 1

Francamente no estoy seguro de lo que estás tratando de decir en (1).

Usted está en lo correcto en que se desea mostrar que $1\not\in I$, pero no estoy seguro de lo que todo el asunto con $1=h(x)\sum_k 3^{i_k}(x^2+1)^{j_k}$ es, o de donde vino. Lo que hay que decir es que los elementos de la $I$ son de la forma $3f+(x^2+1)g$, $f,g\in\Bbb{Z}[x]$. Por lo tanto si $1\in I$, tenemos $1=3f+(x^2+1)g$. La reducción de este mod 3, vemos que $(x^2+1)g \equiv 1 \pmod{3}$, lo cual es un disparate, ya que $\Bbb{Z}_3$ es un dominio (de hecho un campo), por lo positivo de grado de los polinomios no son unidades en $\Bbb{Z}_3[x]$. Así que esto es imposible.

Usted tiene la idea correcta para 2, pero se puede simplificar un poco. Tenga en cuenta que $f_a(I)$ siempre contiene 3, así que para mostrar que $f_a(I)=\Bbb{Z}$, es suficiente para mostrar que para cualquier $a$, $f_a(I)$ contiene un número entero que es $\pm 1$ mod $3$. Esto es más fácil que tratar de resolver por $1$ (aunque creo que también se podría hacer).

Tenemos dos casos:

• $a\equiv 0\pmod{3}$, a continuación, $a^2+1\equiv 1\pmod{3}$.
• $a\equiv \pm 1 \pmod{3}$, a continuación, $a^2+1\equiv 2\pmod{3}$.

Hemos terminado.

Answer 2

Para la primera pregunta, calcular el cociente del anillo. Tenemos $\mathbb{Z}[x]/I \cong \mathbb{Z}/(3)[x]/(x^2+1)$ que es distinto de cero (por qué?).

Para el segundo problema, aviso que $x^2+1$ evaluados en $1$ es $2$, por lo que el conjunto contiene todas las combinaciones lineales de dos coprime enteros.