Demostrar que cualquier quadric en $\mathbb{P}^3$ es isomorfo a $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$

Question

Demostrar que cualquier no-singular, irreductible, quadric en $\mathbb{P}^3$ es isomorfo a $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$

Sé que todo no-singular e irreductible quadric en $\mathbb{P}^3$ puede ser escrita en la forma $xy=zw$ después de un cambio de coordenadas homogéneas.

Por lo que es suficiente para demostrar que $Q=Z(xy-zw)$ es isomorfo a $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$.

$\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 \cong \sigma(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1)$ donde $\sigma$ es el Segre y la incrustación.

Así que ahora quieren demostrar que el $Q=\sigma(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1)$.

Tengo algunas dificultades para demostrarlo. Y no sé si estoy en el camino correcto. Un poco de ayuda sería apreciada.

Gracias.

Answer 1

Observar, en el Segre incrustación $\mathbb{P}\times\mathbb{P}\rightarrow\mathbb{P}^3$, tenemos $$ (x_0:x_1)\times(y_0:y_1)\mapsto(x_0y_0,x_0y_1,x_1y_0,x_1y_1). $$

Si elegimos las coordenadas en $\mathbb{P}^3$$(x,z,w,y)$, podemos ver que $xy=zw$ en esta superficie.