Para la esfera $S^2$, el conjugado de locus de cada cualquier punto en $S^2$ se reduce a un único punto.

Question

El problema es:

Para la esfera $S^2\subset\Bbb{R}^3$, el conjugado de locus de cada punto en $S^2\subset\Bbb{R}^3$ se reduce a un único punto.

Puedo demostrar que cualquier punto es conjugado a punto antipodal. Pero no puedo demostrar que otros puntos no conjugado con el uno con el otro.
Cualquier referencia o croquis de la prueba va a ser interesante.

Gracias de antemano.

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Mis intentos: Hay una proposición en mi libro (Geometría Diferencial de Curvas y Superficies Manfredo P. do carmo), que dice:

PROPOSICIÓN 5. Deje $p, q \in S$ estar a dos puntos de $S$ y deje $\gamma ':[0,1] \to S$ ser una geodésica de unirse a $p = \gamma '(0)$$q = \exp_p(l\gamma '(0))$. A continuación, $q$ es conjugado a $p$ en relación al $\gamma$ si y sólo si $v = l\gamma '(0)$ es un punto crítico de $\exp_p:T_p(S) \to S$.

De esta manera necesito calcular el $(d \exp_p)_v(w)$ a observar para que $v,w$ tenemos $(d \exp_p)_v(w)=0$.

Answer 1

El uso de las habituales coordenadas esféricas $(\phi,\theta)$ tal que $\theta \in S^1$$\phi \in [0,\pi]$$p=(0,0)$. Podemos convertir estas en un legítimo gráfico en la esfera menos un punto mediante coordenadas polares: si $(r,\vartheta)$ son las coordenadas polares en $B_\pi$ (abrir el disco de radio $\pi$) a continuación, el gráfico es simplemente la "identidad" $(\phi,\theta)(r,\vartheta)=(r,\vartheta)$.

La simetría rotacional de la geometría, lo que implica que las curvas de constante $\theta$ debe ser geodesics; y nuestra carta es ya de tal manera que las curvas de $s \mapsto (s,\theta)$ son de la unidad de velocidad. Por lo tanto (cuando se limita a $B_\pi$) la exponencial mapa es exactamente nuestro gráfico - es decir, que hemos estado utilizando exponencial de coordenadas. Ya que los gráficos son diffeomorphisms en sus imágenes, esto significa que no hay que conjugar los puntos en la imagen del gráfico.

Queda por comprobar el punto antipodal $q$$p$. A ver que es conjugado, deje $v(t) = (\pi, t)$ ser parametrizadas límite de $B_\pi \subset T_p S^2$. Cada punto de esta curva se asigna a $q$ por el mapa exponencial, por eso $$D_{v(0)} \exp(v'(0)) = \frac{d}{dt} \bigg|_{t=0} \exp(v(t)) = \frac{d}{dt} \bigg|_{t=0} q = 0.$$