Dicen que hay una serie de $ y = \sum a_{n} x^{n}$ .. ¿por Qué converger para valores positivos y negativos ? Cuál es la intuición detrás diciendo eso ?
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Yves Daoust
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Toda una serie converge cuando su término general que se desintegra lo suficientemente rápido. Y si se descompone en los aspectos positivos, que se descompone de la misma manera en que los negativos. Esto es lo que sucede dentro del radio de convergencia.
Por ejemplo, la serie
$$\sum\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}$$
es tal que para $x=\pm0.5$, $10^{th}$ plazo es $0.00009765625$, que es pequeño, y el $20^{th}$ plazo es $2048$ veces más pequeño.
En el lado opuesto, en el radio de convergencia, cualquier cosa puede ocurrir.
Por ejemplo, la serie puede converger en los aspectos positivos debido a que tiene la alternancia de signos y el plazo para compensar un poco el uno del otro para asegurar la desintegración suficiente, y difieren en los aspectos negativos debido a la alternancia de signos desaparecen y la descomposición es más lenta.
Con el dado de la serie, el radio es $1$ y la convergencia se obtiene por $x=1$: gracias a la señal de la alternancia, cada término se cancela,
$$\frac1{2n}-\frac1{2n+1}=\frac1{2n(2n+1)}\approx\frac1{4n^2}$ $ , de modo que la decadencia es, de hecho, cuadrática.
$$\frac1{10}-\frac1{11}=0.00909090\cdots$$ $$\frac1{20}-\frac1{21}=0.00238095\cdots$$
Pero para $x=-1$ la caries es sólo armónica,
$$\frac1{2n}+\frac1{2n+1}=\frac{4n+1}{2n(2n+1)}\approx\frac1n$$
y demasiado lento
$$\frac1{10}+\frac1{11}=0.19090909\cdots$$ $$\frac1{20}+\frac1{21}=0.09761904\cdots$$
Por definición, en el radio de convergencia, que están en la frontera entre convergentes y divergentes, y signo de los asuntos.
Dentro del radio de convergencia, decaimiento rápido está iniciado de sesión independiente (y también de argumento independiente para el complejo).
user254665
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Para $\sum_na_nx^n$ a converger, sin duda, debemos tener $|a_nx^n|\to 0,$, por lo que la convergencia se producirá un error si, por alguna $k>0,$ tenemos $|a_nx^n|\geq k$ para infinidad de $n.$ Así que para cualquier $k>0$ debemos tener $|a_n|^{1/n}\cdot |x|<k^{1/n}$ para todos, pero un número finito de $n.$
Ahora $k^{1/n}\to 1$ $n\to \infty$ cualquier $k>0$, por lo que debemos tener $|a_n|^{1/n}\cdot |x|\leq 1$ para todos, pero un número finito de $n.$ por lo Tanto la convergencia exige $|x|\leq R$ donde $$\frac {1}{R}=\lim_{m\to \infty}\sup_{n>m}|a_n|^{1/n}.$$
Esto sugiere que la desigualdad estricta $|x|<R$ puede ser suficiente para la convergencia, y lo es.
En el caso de que $0<R<\infty,$ supongamos $|x|<R$. Deje $|x|=(1-a)R$ donde $0<a\leq 1.$ La definición de $R$, por encima, implica que para cualquier $b>0$ hay sólo un número finito $n$ tal que $|a_n|^{1/n}\geq (1+b)\frac {1}{R}.$ si tomamos $b>0$ donde $b$ es lo suficientemente pequeño que $(1-a)(1+b)<1$, a continuación, para todos, pero un número finito de $n$ hemos $$|a_nx^n|\leq (1+b)^n R^{-n}\cdot |x^n|=(1+b)^n R^{-n}\cdot (1-a)^nR^n=((1+b)(1-a))^n.$$ Since $0\leq (1+b)(1-a)<1,$ this means that the absolute values of the terms $a_nx^n$ go to $0$ at least as fast as the terms of the convergent geometric series $\sum_n((1+b)(1-a))^n$, so $\sum_na_nx^$ n converge.
