El mapeo exponencial crea una métrica de la forma
\begin {align*} ds^2=dr^2+ \psi (r, \theta )^2d \theta ^2, \end {align*}
localmente en una vecindad suficientemente pequeña de cualquier punto $p$ en una variedad bidimensional. Su condición expresa una simetría local: en una vecindad suficientemente pequeña de $p$ la métrica es invariante con respecto a una traslación en la $\theta$ (podríamos llamarlo "rotación local").
Hay mucha diferencia si se quiere ese tipo de métrica en un punto o en todos los puntos, y en este último caso si la función $\psi$ tiene que ser el mismo para cada punto (no lo es en sus ejemplos con $\psi^2(r)=r,r^3\ldots$ ).
Si la misma función $\psi(r)$ es válida alrededor de cada punto $p$ entonces estamos en el reino de las superficies de curvatura constante; para ver esto, observe que la curvatura para un $\psi(r)$ viene dada por
$$K=-\frac1{\sqrt G}\frac{\partial^2\sqrt G}{\partial r^2}$$
donde $G=1.\psi^2(r)$ es el determinante de la matriz que expresa las componentes del tensor métrico. Esto demuestra que la función $\psi(r)$ determina de forma única la curvatura en el origen del sistema de coordenadas. Si todos los orígenes tienen la misma función $\psi(r)$ entonces todos los orígenes tienen la misma curvatura escalar.
Por lo tanto, la curvatura constante implica $\psi''/\psi$ debe ser constante. Dependiendo del signo de la constante (el opuesto al signo de la curvatura), las soluciones de esa ecuación diferencial son: polinomios de primer grado (tu ejemplo de un plano euclidiano), una versión escalada y desplazada del seno hiperbólico (tu ejemplo de una esfera hiperbólica) y una versión escalada y desplazada del seno ordinario (una esfera). El desplazamiento puede eliminarse exigiendo $\psi(0)=0.$
La esfera de radio $R$ tiene $\psi(r)=\sin(r/R).$
