Cómo probar esto $\displaystyle\lim_{\tau\to t}f(t,\tau)=\frac{1}{2\pi}\frac{x'_{1}(t)x''_{2}(t)-x'_{2}(t)x''_{1}(t)}{[x'_{1}(t)]^2+[x'_{2}(t)]^2}$

Question

Pregunta:

vamos $$j_{1}(t)=\sum_{p=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^p}{p!(1+p)!}\left(\dfrac{t}{2}\right)^{1+2p}$$ $$Y_{1}(t)=\dfrac{2}{\pi}\left(\ln{\dfrac{t}{2}}+C\right)j_{1}(t)-\dfrac{1}{\pi}\sum_{p=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^p}{p!(1+p)!}\left(\dfrac{t}{2}\right)^{1+2p}\left(\sum_{m=1}^{p+1}\dfrac{1}{m}+\sum_{m=1}^{p}\dfrac{1}{m}\right)\tag{1}$$ vamos $$f(t,\tau)=\dfrac{ik}{2}\left(x'_{2}(\tau)[x_{1}(\tau)-x_{1}(t)]-x'_{1}(\tau)[x_{2}(\tau)-x_{2}(t)]\right)\dfrac{j_{1}(k|x(t)-x(\tau)|)+iY_{1}(k|x(t)-x(\tau)|)}{|x(t)-x(\tau)|}$$ donde $C$ es la constante de Euler,y $$|x(t)-x(\tau)|=\sqrt{[x_{1}(t)-x_{1}(\tau)]^2+[x_{2}(t)-x_{2}(\tau)]^2}$$

demostrar que: $$\lim_{\tau\to t}f(t,\tau)=\frac{1}{2\pi}\dfrac{x'_{1}(t)x''_{2}(t)-x'_{2}(t)x''_{1}(t)}{[x'_{1}(t)]^2+[x'_{2}(t)]^2}$$

Este problema es de (Inversa de la Acústica y Electromagnética de Dispersión de la Teoría ) página 77,este autor no se puede publicar su solución,y yo tome algún tiempo para probar esto,Pero no puedo demostrarlo. Ahora mi trate: desde $$J_{1}(t)\approx \dfrac{t}{2}+o(t)$$ $$Y_{1}(t)\approx\dfrac{t}{\pi}\left(\ln{\dfrac{t}{2}}+C\right)-\dfrac{t}{2\pi}\tag{2}$$ y, a continuación, para $f(t,\tau)$ quiero que el uso de la regla de L'Hôpital Gracias por tu ayuda! Gracias gracias

Answer 1

Observar que $J_1(t)$ $Y_1(t)$ es la función de Bessel de primera especie y de la segunda clase, respectivamente, y $H_1^{(1)}(t)=J_1(t)+iY_1(t)$ es la función de Hankel de la primera clase. Para la pequeña discusión que hemos $$ \begin{align} J_1(t)&\sim \frac{t}{2}\tag 1\\ Y_1(t)&\sim \frac{2}{\pi}\left[\log\left(\frac{t}{2}+C\right)\right]\frac{t}{2}-\frac{2}{\pi t}\tag 2 \end{align} $$ así que $$ H_1^{(1)}(t)=J_1(t)+iY_1(t)\sim -\frac{2}{\pi t}.\etiqueta 3 $$ Vamos a llamar a $$ \begin{align} \psi(\tau,t)&=x'_{2}(\tau)[x_{1}(\tau)-x_{1}(t)]-x'_{1}(\tau)[x_{2}(\tau)-x_{2}(t)]\\ r(\tau,t)&=|x(t)-x(\tau)|=\sqrt{[x_{1}(t)-x_{1}(\tau)]^2+[x_{2}(t)-x_{2}(\tau)]^2} \end{align} $$ así que $$ f(\tau,t)=\frac{ik}{2}\psi(\tau,t)\frac{H_1^{(1)}(kr)}{r}. $$ Para$\tau\to t$, de modo que $r(\tau,t)\to 0$ podemos usar (3) y, a continuación, $$ \frac{ik}{2}\frac{H_1^{(1)}(kr)}{r}\sim \frac{1}{\pi r^2} $$ y para $f(\tau,t)$ $$ f(\tau,t)\sim \frac{\psi(\tau,t)}{\pi r^2(\tau,t)}. $$ Poner, por $k=1,2$ $$ \xi_k(\tau,t)=\frac{x_k(\tau)-x_k(t)}{\tau-t} $$ y observe que para $\tau\to t$ tenemos $\xi_k(\tau,t)\to x'_k(t)$.

Podemos escribir $$ f(\tau,t)\sim \frac{\psi(\tau,t)}{\pi r^2(\tau,t)}=\frac{1}{\pi} \frac{\varphi(\tau,t)}{\xi_1^2(\tau,t)+\xi_2^2(\tau,t)}\\frac{1}{\pi} \frac{\varphi(t,t)}{[x'_{1}(t)]^2+[x'_{2}(t)]^2}\etiqueta 4 $$ con $$ \varphi(t,t)=\lim_{\tau\t}\varphi(\tau,t)=\frac{x_2'(\tau)[x_1(\tau)-x_1(t)]-x_1'(\tau)[x_2(\tau)-x_2(t)]}{(\tau-t)^2}. $$ El uso de la l'Hôpital de la regla que tenemos que encontrar $$ \begin{align} \lim_{\tau\to t}\varphi(\tau,t)&=\lim_{\tau\to t}\tfrac{x_2''(\tau)[x_1(\tau)-x_1(t)] +x_2'(\tau)x_1'(\tau)-x_1''(\tau)[x_2(\tau)-x_2(t)]-x_1'(\tau)x_2'(\tau)}{2(\tau-t)}\\ &=\lim_{\tau\to t}\frac{1}{2}\left(x_2''(\tau)\xi_1(\tau,t)-x_1''(\tau)\xi_2(\tau,t)\right)\\ &=\frac{1}{2}\left(x_2''(t)x_1'(t)-x_1''(t)x_2'(t)\right).\tag 5 \end{align} $$ Entonces a partir de (4) y (5) tenemos

$$ \lim_{\tau\a t}f(\tau,t)=\frac{1}{2\pi}\dfrac{x'_{1}(t)x"_{2}(t)-x'_{2}(t)x"_{1}(t)}{[x'_{1}(t)]^2+[x'_{2}(t)]^2}. $$