Existe un poderoso teorema con respecto a un campo $F$ extensiones y sus dimensiones.
$F<E<K \ \Rightarrow [K:F] = [K:E][E:F] $
Esto es análogo al famoso Teorema de Lagrange con respecto a los grupos. ¿Hay alguna relación entre estos dos teoremas?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esta es una gran pregunta. Tanto la fórmula de grado de las extensiones de campo como el teorema de Lagrange son casos especiales de un lema que tiene lugar en una categoría simétrica monoidal. Aquí está este lema para el caso de los grupos abelianos.
Lema : Dejemos que $M$ ser una izquierda libre $S$ -módulo, $R \to S$ un homomorfismo de anillos, tal que $S$ es libre como una izquierda $R$ -módulo. Entonces la izquierda $R$ -Módulo $M|_R$ es gratis. En concreto, si $B$ es un $S$ -base de $M$ y $C$ es un $R$ -base de $S$ entonces $C \cdot B$ es un $R$ -base de $M|_R$ con cardinalidad $|C \cdot B| = |C|\cdot |B|$ .
Prueba: La base $B$ induce un isomorfismo $M \cong S^{\oplus B}$ Por lo tanto $M|_R \cong (S|_R)^{\oplus B}$ y $C$ induce un isomorfismo $S|_R \cong R^{\oplus C}$ . Así, $M|_R \cong (R^{\oplus C})^{\oplus B} \cong R^{\oplus C \times B}$ . Por construcción, esto mapea $(c,b) \in C \times B$ a $c \cdot b \in M$ . QED
La fórmula de grado para las extensiones de campo es un corolario inmediato.
Ahora, fíjate en que la demostración de este lema es totalmente formal. No necesitamos ningún elemento en absoluto. Por tanto, podemos generalizar este lema a categorías simétricas monoidales arbitrarias con coproductos que se distribuyen sobre $\otimes$ . Entonces $R,S$ son objetos monoides, $M$ es una izquierda $S$ -que se llama libre cuando es un coproducto de copias de $S$ . La misma prueba anterior funciona.
Apliquemos esto a la categoría cartesiana de conjuntos ( $\otimes=\times$ y $\oplus=\sqcup$ ). Entonces $R,S$ son monoides en el sentido habitual. Limitémonos al caso de dos grupos $H,G$ equipado con un homomorfismo de grupos $H \to G$ , w.l.o.g. inyectiva. Entonces $M$ es un $G$ - y el juego. Al descomponer $M$ en órbitas, encontramos que $M$ es un coproducto de copias de $G$ es decir, se trata de un $G$ -Set. Una base consiste en un sistema de representantes $B$ para las órbitas. Del mismo modo, encontramos que $G$ es un programa gratuito $H$ -un conjunto, una base consiste en un sistema de representantes $C$ para los cosets derechos de $H$ en $G$ . El lema nos dice que $C \cdot B$ es un sistema de representantes de las órbitas de $M|_H$ . En otras palabras: $$[H/M] = [H/G] \cdot [G/M].$$ Aplicar esto a un grupo $K$ equipado con un homomorfismo inyectivo $G \to K$ obtenemos el teorema de Lagrange $$[G/K] = [H/G] \cdot [G/K].$$ Los módulos de la derecha dan la fórmula correspondiente para los cosets de la izquierda.
