Deje $X$ $Y$ estar conectado, y deje $Y \subseteq X$. Si $A$ $B$ son de dos no-vacío, distintos bloques abiertos (open en el subespacio $X-Y$) cuya unión es $X-Y$, o en otras palabras, si $A$ $B$ forma una separación de $X-Y$, entonces, ¿cómo demostrar que $Y \cup A$ $Y \cup B$ están conectados?
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FasterEd
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SUGERENCIA: suponga $C$ $D$ están abiertas en $X$ y forma una separación de $Y \cup A$. Entonces, desde el $Y$ está conectado, debe estar en su totalidad en uno de $C$ o $D$, supongo que es $C$. Pero, a continuación, $D \cap A$ $C \cup B$ forma una separación de $X$.
Lo que queda por demostrar es que esto funciona incluso cuando $B$ $A$ no están abiertos en $X$.
VoteyDisciple
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Aquí es una solución más elegante. Vamos a utilizar la siguiente:
Lema: Deje $p: X \rightarrow Y$ ser un cociente de mapa. Si cada fibra de $p^{-1}(\{y\})$ está conectado, y $Y$ está conectado, a continuación, $X$ también está conectado.
(este lema se discuten aquí : Cómo probar este resultado que implican el cociente de los mapas y de la conectividad?)
Colapso el subconjunto $Y \cup A$ $X$ a un punto; llame a la resultante del cociente del espacio de $M$. Considerar la composición de la $p: Y \cup B \hookrightarrow X \overset{q}{\rightarrow} M $ (donde $q$ es el correspondiente cociente mapa). Ahora, queda por demostrar que las condiciones del Lema anterior se aplican a la mapa $p: Y\cup B \rightarrow M$:
- el conjunto de imágenes $M$ está conectado (como la imagen de surjective mapa continuo $q$)
- para cada elemento $y \in M$ fibra $p^{-1}(\{y\})$ está conectado (cada fibra es un punto de subconjunto de $B$ o coincide con el conectado espacio de $Y$)
- $p$ es un cociente de mapa. (Prueba: $p$ es claramente surjective; es continuo, como la composición de la involucración y el cociente mapa. Muestra que se toma saturada cerrado subconjuntos $C \subseteq Y \cup B$ a conjuntos cerrados de $M$ toma un poco más de esfuerzo y se reduce a dos casos:
Caso 1: $C \subseteq B$, $C\cap Y=\emptyset$. A continuación, $C$ también será un subconjunto cerrado de $X$(debido a $\overline C \cap (Y \cup B)=C$$\overline C \subseteq \overline B$, de modo que $\overline C \cap A =\emptyset$) y saturado con respecto a $q$, de modo que $p(C)=q(C)$ es cerrado en $M$.
Caso 2: $Y \cap B \supseteq C\supseteq Y$. A continuación, $C\cup A$ será un subconjunto cerrado de $X$ (debido a $C\cup A \supseteq A \cup Y$$\overline A \cap B=\emptyset$) que está saturado con respecto a $q$, de modo que $p(C)=q(C\cup A)$ es cerrado en $M$.
