Resolución de una ecuación diofantina con LTE

Question

Demuestre que sólo un valor entero positivo de $a$ para lo cual $$4(a^n+1)$$ es un cubo perfecto para todos los enteros positivos $n$ es $1$ . Reescribiendo la ecuación obtenemos: $$4(a^n+1)=k^3$$ Es evidente que $k$ es par y que en su factorización prima presenta un factor primo $=2$ He probado a resolverlo con LTE y otros métodos pero en vano. Cómo puedo solucionarlo?

Editar: Suponiendo que un factor primo de $k$ ( $k=p_1^{3q}\cdot p_2^{3q}\cdot ....\cdot p_j^{3q}$ ) es un divisor de $a+1$ (es decir $p|a+1$ ) por lo que el mayor poder de $p$ que divide $a^n+1$ tiene que ser múltiplo de $3$ : $$\upsilon_p(a+1)+\upsilon(n)=3q$$ pero podemos observar que $3q$ depende no sólo $a$ sino también por $n$ por lo tanto esto no es posible por hipótesis. Pero si $p$ no es divisor de $a+1$ ¿Cómo puedo continuar?

Answer 1

No necesita LTE. Supongamos que $$4(a^n+1)=k^3 \tag{$ \estrella $}$$ para algunos $a>1$ . Entonces, puesto que $a^n+1>2$ debemos tener $$a^n+1=16b$$ $$ a^n=16b-1 \tag{P(n)}$$ para algunos $b\ge1$ (de hecho $b$ es un cubo, pero es una información innecesaria para nuestros fines). Sin embargo, si $P(n)$ entonces multiplicando ambos lados por $a$ vemos que $P(n+1)$ también se cumple si y sólo si existe un número entero positivo $c$ tal que $a-1=16c$ : $$a^{n+1}=16ab-a \\ a^{n+1}=16ab-(a-1)-1 \\ a^{n+1}=16\left(ab-\frac{a-1}{16}\right)-1.$$ Pero esto produce que $P(n)$ es equivalente a $$a^n-1=16b-2 \\ (a-1)\left(a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots+1\right)=16b-2 \\ 16c\left(a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots+1\right)=16b-2,$$ lo cual es claramente imposible, por lo que concluimos $a=1$ sólo satisface $(\star)$ para todos los enteros positivos $n$ .