Supongamos $u$ es positiva y armónica de la función en $U$, e $u(re^{i\theta}) \to 0$$r \to 1$, para cada $e^{i\theta} \ne 1$. Probar que existe una constante $c$ tal que $$u(re^{i\theta}) = cP_r(\theta).$$
Notas:
- $U$ es la de abrir la unidad de disco.
- $P$ es el núcleo de Poisson: $P_r(\theta) = \frac{1-r^2}{1-2r\cos\theta+r^2}$.
- Este es el auto-estudio. No a la tarea.
Mis pensamientos:
Desde $u$ es positiva y armónica de la función en $U$, es la integral de Poisson de un positivo finito de medida $\mu$ $T$ (el círculo unitario). Escribir $\mu = fd\sigma + \mu_s$ (el Lebesgue descomposición de $\mu$). Desde $u$ $0$ radial de los límites de una.e., $f = 0$ .e. y $\mu \perp \sigma$. Yo supuse que $c = \|\mu\|$ y trató de evaluar $u(re^{i\theta}) - cP_r(\theta)$ pero me atoré.
Hay una manera mejor? Gracias.
