Soy un estudiante principiante en Geometría Diferencial. Según lo que entiendo, los gráficos:
$$\sigma_+^z(x,y) = (x,y, \sqrt{1 - x^2 - y^2} )$$ $$\sigma_+^x(u,v) = (\sqrt{1 - u^2 - v^2},u,v )$$
definido en $U_+^z = \{ (x,y) : x^2 + y^2 <1 \} $ y $U_+^x = \{ (u,v) : u^2 + v^2 <1\}$ respectivamente cubrirán sólo una parte de la esfera y omitiendo los puntos $(0,\pm1,0).$
Ahora mi pregunta es, ¿cómo se encuentra exactamente el mapa de transición $$\sigma_+^z{^{-1}} \circ \sigma_+^x$$ cuando ambos gráficos de coordenadas/parches de superficie es un mapa de $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ ?
Ya he intentado resolver la inversa, pero no sé qué hacer con la componente de la raíz cuadrada $\sqrt{}$ para $\sigma_+^z$ ?
¿Supongo que el radio también es una variable y por eso tengo tantos problemas?
Objetivo : Mi objetivo es computar un mapa de transición para un gráfico que mapea desde $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ . He buscado por todos los apuntes de geometría diferencial para encontrar un ejemplo de cálculo de un mapa de transición, no he podido encontrar ninguno, por eso estoy haciendo uno ahora mismo. Si al menos pudieras guiarme a un colector más sencillo (superficie, supongo en este caso), sería genial. Creo que a partir de ahí sería capaz de hacer el álgebra. (perdón que este post sea tan largo)
Lo que intenté "resolver por variables" :
Para $\sigma_+^z$ , he puesto $s = x$ , $t = y$ y $r = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$ Como las dos primeras variables están resueltas, no sé qué hacer con la última.
Para $\sigma_-^x$ , he puesto $a = \sqrt{1 - u^2 - v^2}, b = u$ y $c = v$ ¿significa esto que la inversa volverá a mapear a $$ (\sqrt{1 - a^2 - c^2} , c) \subset U_+^x$$
