Pido disculpas por el largo de la instalación, pero quiero asegurarme de que estoy claro cómo es que estoy usando la notación, y lo que quiero decir con la frase "generalizado número de sistema".
Definir generalizada del sistema de número de $G$ como un conjunto de elementos equipado con
- operación de adición, y $G$ es un grupo abelian en virtud de esta operación (de modo que la suma es conmutativa y asociativa, y la existencia y unicidad de inversos aditivos también nos da la resta)
- la multiplicación (y $G$ es cerrado bajo las operaciones)
- conjugado de operación
$\overline{a}$ denota el conjugado de a $a$, con las propiedades que para todos los $a,b \in G$
$\overline{a} \in G$
$\overline{\overline{a}}=a$
$\overline{(a+b)}=\overline{a}+\overline{b}$
$\overline{(ab)}=\overline{b}\,\overline{a}$ - un orden lineal la relación en el subconjunto de elementos para los que se $\overline{a}=a$
- la multiplicación y la suma son "compatibles", a través de la propiedad distributiva:
$a(b+c) = ab + ac$
Tenga en cuenta que la multiplicación no es necesariamente conmutativa ni asociativa, ni proporciona una definición de división.
Lado de la pregunta: ¿existe un matemáticamente término adecuado para lo que yo estoy llamando a un generalizado del sistema de numeración?
Ahora en el caso especial de $G$ campo $F$, entonces dado un espacio vectorial $V$$F$, tenemos un producto interior espacio si queremos equipar el espacio vectorial con un mapa
$\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \to F$
que tiene las siguientes propiedades para todos los $x,y,z \in V$$a \in F$:
$\langle x,y\rangle =\overline{\langle y,x\rangle}$
$\langle ax,y\rangle = a \langle x,y\rangle$
$\langle x+y,z\rangle = \langle x,z\rangle + \langle y,z\rangle$
$\langle x,x\rangle \geq 0$
$\langle x,x\rangle = 0 \Rightarrow x = 0$.
A partir de esto, una propiedad adicional puede ser derivada:
$$\langle x,ay\rangle = \overline{\overline{\langle x,ay\rangle}} = \overline{\langle ay,x\rangle} = \overline{a \langle y,x\rangle} = \overline{\langle y,x\rangle}\,\overline{a} = \langle x,y\rangle \overline{a}$$
el uso que este es un campo, podemos simplificar aún más:
$$\langle x,ay\rangle = \langle x,y\rangle \overline{a} = \overline{a} \langle x,y\rangle = \langle \overline{a}\,x,y\rangle$$
Un "operador" en este espacio vectorial, se define como un mapa del espacio vectorial en sí mismo
$\hat{A}: V \rightarrow V$
y el adjunto del operador de $\hat{A}$ será denotado $\hat{A}^\dagger$ se define como el operador que satisface:
$\langle \hat{A}x,y\rangle=\langle x,\hat{A}^\dagger y\rangle$
Este es un importante programa de instalación para la consideración de la auto-adjuntos a los operadores en el espacio de Hilbert de la mecánica cuántica. Ya que las personas que han jugado con quaternionic espacios de Hilbert, debe haber una manera de generalizar el producto interior de los espacios sobre los no-número de desplazamientos de los sistemas (al menos en algunos casos específicos).
Sin embargo, no es claro para mí cómo generalizar el producto interior de los espacios sobre los desplazamientos de los sistemas de numeración. Incluso algunas de las propiedades de definición requieren de atención, por ahora:
la elección de la exigencia en el interior del producto
$\langle ax,y\rangle = a \langle x,y\rangle$
no sería equivalente a elegir para ser
$\langle ax,y\rangle = \langle x,y\rangle a$
Y además, siguiendo la lógica anterior, no parece ser posible obtener:
$\langle x,ay\rangle = \langle \overline{a}\,x,y\rangle$
sin conmutativa de la multiplicación. Lo que parece indicar que incluso una simple operador definido por linealmente el escalamiento de un vector por una constante
(para todos los $x \in V$, $\hat{A}x = sx$ donde $s \in G$), no tiene un medico adjunto del operador. Así que toda una cantidad de cuidado debe ser tomado a la hora de ampliar estos conceptos.
Así que ¿cómo se puede generalizar producto interior espacios que les permita ser más general número de espacios?
