Cómo elegir el denominador más significativo.

Question

Tengo que ver si $$\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx$$ es convergente o no.

Sé que tengo dos incorrecto puntos para $$\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx = \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx + \int_{1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx$$

Para la integral de 1 a 0 se utiliza la siguiente comparación $$0\leq \frac{1}{\sqrt{x^3+x}}\leq \frac{1}{\sqrt{x}}$$

y para la integral de 1 a infinito se utiliza $$0\leq \frac{1}{\sqrt{x^3+x}}\leq \frac{1}{\sqrt{x^3}}$$

¿Por qué en un caso se utiliza $\sqrt{x}$ y en el resto de la $\sqrt{x^3}$?

En ambos casos no es válido

$$0\leq \frac{1}{\sqrt{x^3+x}}\leq \frac{1}{\sqrt{x^3}}$$

Answer 1

Aunque la desigualdad es verdadera, el hecho de que $\displaystyle 0\leq \frac{1}{\sqrt{x^3+x}}\leq \frac{1}{\sqrt{x^3}}$ no le dirá mucho acerca de la integral de $0$ $1$desde $\displaystyle \int_ 0 ^1 \frac{1}{\sqrt{x^3}}dx$ diverge, porque $\displaystyle 1\leq \frac{3}{2}$.

Deje $a,b,\alpha$ ser números reales tales que a $a<b$.

Las integrales de $\displaystyle \int \limits_a^{b^-} \frac{1}{(b-x)^\alpha}\mathrm dx , \int \limits_{a^+}^b \frac{1}{(x-a)^\alpha}\mathrm dx$ converge si, y sólo si, $\alpha <1$.

Para comprobar esto le basta para calcular el antiderivatives y tomar los límites.

Answer 2

La última desigualdad es válida, sino $1/\sqrt{x^3}=x^{-3/2}$ no es integrable cerca de $x=0$.

Piénsalo de esta manera: Al $x$ es muy pequeña, $x^3\ll x$ (en palabras: $x^3$ es mucho menor que $x$), por lo $x^3+x$ está muy cerca de a $x$ (en términos relativos).

Por otro lado, cuando se $x$ es muy grande, $x^3\gg x$, por lo que el $x^3+x$ está muy cerca de a $x^3$ (de nuevo, en términos relativos).

Answer 3

Primero de todo, es tu derecho a elegir diferentes funciones de comparación, ya que su problema fue dividida y reducido para el análisis de los dos "subproblemas". Por otra parte, también está obligado a considerar las diferentes funciones de comparación, porque estás estudiando la convergencia en los diferentes intervalos!

Como ustedes saben, $\displaystyle \int x^{-\alpha}$ es convergente cerca de 0 iff $\alpha < 1$, mientras que es convergente cerca de $+\infty$ fib $\alpha>1$. Así que a ver que $$\dfrac{1}{\sqrt{x^3+x}}\leq \dfrac{1}{\sqrt{x^3}}=x^{-\frac32}$$ is unuseful near 0, because $\displaystyle \int_0^1 x^{-\frac32}$ goes to infinity. By the comparison test, you can't say anything about the finiteness of something which is just $< +\infty$.