Probar series$\sum \frac{a_i}{1+|a_i|}$ converge

Question

Si$\sum_{i=1}^n a_i$ converge, ¿$\sum_{i=1}^n \frac{a_i}{1+|a_i|}$ siempre converge? Si no, por favor dé un contraejemplo. Gracias.

Answer 1

Aquí es un contraejemplo:

Deje $c_n$ ser una secuencia de positivos reales de los que converge lentamente a $0$. Considere el segmento finito $S_n$ consistente en la $n+1$ $S_n := \{-c_n, \frac{c_n}{n}, \frac{c_n}{n}, \ldots, \frac{c_n}{n}\}$ sumando a $0$. Si queremos concatenar estas finito de segmentos de $S_n$$n=1$$\infty$, obtenemos una serie que converge a $0$, siempre nos aseguramos de que $c_n \to 0$, de modo que las sumas parciales tienden a $0$ dentro de cada segmento. Aparte de esta restricción somos libres de elegir la $c_n$ arbitrariamente.

Ahora echemos un vistazo a la transformación de la forma de $S_n$: el primer término $-c_n$ mapas a $-c_n/(1+c_n)$, y el otro $n$ términos suma a $nc_n/(n+c_n)$. Estos se suma a $$ \frac{-c_n(n+c_n) + nc_n (1+c_n)}{(1+c_n)(n+c_n)} = \frac{(n-1)c_n^2}{(1+c_n)(n+c_n)} \sim c_n^2.$$

Podemos elegir fácilmente las $c_n \to 0$, de modo que la suma de estos diverge. Por ejemplo, $c_n = 1/\sqrt{n}$ o $c_n = 1/\log n$.

Parece que hay mucho margen a la hora de trastear con esta construcción. No parecen fundamentales para permitir que la longitud del segmento de crecer hasta el infinito, así que tal vez puede ser simplificada a una verdadera alternancia de la serie.