Orden de crecimiento de$(s-1)\zeta(s)$

Question

De nuevo, orden de problemas de crecimiento.

Muestre que la función$(s-1)\zeta(s)$ es una función completa de la orden de crecimiento$1$; o equivalentemente,$$|(s-1)\zeta(s)| \leq A_{\epsilon} \; \exp \left(a_{\epsilon}|s|^{1+\epsilon} \right).

Por supuesto,$\zeta (\cdot)$ denota la función zeta de Riemann.

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Otro enfoque es a través de la serie de Laurent de la de Riemann zeta función en $s=1$,

$$\zeta(s)=\frac1{s-1}+\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}\gamma_n(s-1)^n\;,$$

donde el $\gamma_n$ son los Stieltjes constantes. Multiplicando por $s-1$ rendimientos

$$(s-1)\zeta(s)=1+\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}\gamma_n(s-1)^{n+1}\;.$$

Teorema 2.2.2 de la Totalidad de Funciones por Ralph Felipe Boas expresa el orden de $\mu$ completo de una función dada por una potencia de la serie

$$f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$$

en términos de los coeficientes:

$$\mu=\limsup_{n\to\infty}\frac{n\log n}{\log (1/|a_n|)}\;.$$

Para evaluar el límite superior, podemos utilizar los límites encontrados por Matsuoka: Para todos los $n\ge10$,

$$|\gamma_n|\le\frac{\exp(n\log\log n)}{10000}\;,$$

y para infinidad de n

$$|\gamma_n|\gt\exp(n\log\log n-n\epsilon)\;.$$

Sustituyendo a Stirling aproximación para el factorial,

$$\log n!\sim n\log n -n\;,$$

podemos ver que el límite superior es $1$: El límite superior en $\gamma_n$ asegura que el cociente es, finalmente, por debajo de $1+\delta$, y el límite inferior asegura que es infinitamente a menudo por encima de $1$.

Answer 2

Esta es una aplicación de Phragmen-Lindelof, Laplace-Stirling asymptotics de Gamma (o menos), y la ecuación funcional. El completado zeta función de $\xi(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s)$ tiene el funcional de la ecuación de $\xi(1-s)=\xi(s)$, y simple pol $s=1,0$. Por lo tanto, $s(s-1)\xi(s)$ es todo.

A partir de la resultante $\zeta(1-s)=\pi^{s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s)/\pi^{-(1-s)/2}\Gamma((1-s)/2))$, multiplicando por $s(s-1)$ a eliminar los polos, y de asymptotics de $\Gamma$, nos encontramos con que $\zeta(s)$ es de crecimiento vertical de la orden de ${1\over 2}+|\Re(s)|$ a la izquierda de $0$, con tan explícita (de crudo) constantes como uno quiere. La aplicación de Phragmen-Lindelof da delimitada orden de crecimiento en la crítica de la tira. (Los detalles de esta última preocupación Lindelof y RH, pero son irrelevantes para el presente grueso declaración).

Este tipo de consideración (muy modestas detalle) es suficiente para invocar Hadamard-producto de negocios.

El Hadamard-producto materia es tratada en detalle en Ahlfors' "Análisis Complejo", como se asymptotics para $\Gamma$. El funcional de la ecuación de $\zeta$ es tratado a muchos lugares. El argumento me esbozó también es dado a muchos lugares, tales como Lang, "la Teoría Algebraica de números". Debe ser visto como "estándar".

Answer 3

Creo que esto se hace en cualquier tratamiento serio de la función zeta, pero es un poco largo para escribir aquí. Trate de Davenport Multiplicativo de la Teoría de números.

EDIT: o tratar estas notas por mi colega, William Chen. Él define $$\xi(s)=(1/2)s(s-1)\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s)$$ Theorem 6C gives a product formula for $\xi$. Section 6.3 introduces functions of order 1. Theorem 6K relates functions of order 1 to products over zeros. All that goes into Section 6.4, where Chen proves $$\xi(s)=O_{\alpha}\left(e^{|s|^{\alpha}}\right)$$

MÁS EDIT: tal vez la discusión en Bateman y el Diamante, la Teoría Analítica de números, sería de ayuda. Teorema 8.1 da el "asimétrica funcional de la ecuación," $$\zeta(s)=2^s\pi^{s-1}\Gamma(1-s)\zeta(1-s)$$ Then Section 8.2 gives various estimates for $\zeta$. With $s=\sigma+it$, they note $$\zeta(s)=1+O(2^{-\sigma})$$ as $\sigma\to\infty$. By Theorem 8.1 and Stirling they get $$\zeta(\sigma+it)=O(|t|^{(1/2)-\sigma})$$ for $-a\le\sigma\le-b\lt0$, $|t|\ge1$. Then they get (Lemma 8.4) $$\zeta(s)=O(\log t)$$ for $\sigma\ge1$, $t\ge2$, and $$\zeta(s)=O_{\delta}(t^{1-\delta})$$ for $0\lt\delta\lt1$, $\sigma\ge\delta$, $t\ge2$.