Lema de Fekete para funciones reales

Question

El siguiente resultado, que conozco con el nombre de El lema de Fekete es bastante útil. Por ejemplo, se utilizó en esta respuesta: Existencia de un límite asociado a una secuencia casi subaditiva .

Si $(a_n)_{n=0}^\infty$ es una secuencia subaditiva de números reales, es decir $$(\forall m,n) a_{m+n} \le a_m + a_n,$$ entonces $$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_n}n = \inf_n \frac{a_n}n.$$

En el artículo de la Wikipedia se dan algunas referencias, el documento original de Fekete está disponible aquí . Básicamente, la versión exponencial (para secuencias submultiplicativas) puede demostrarse de forma similar a la de Satz II en este trabajo.

---

Me preguntaba si una afirmación análoga es válida para las funciones. Es decir, algo así como Siempre que $f:{(0,\infty)}\to{\mathbb R}$ cumple con $$(\forall x,y)f(x+y) \le f(x)+f(y)$$ (es decir, es subaditivo), entonces $$\lim\limits_{x\to\infty} \frac{f(x)}x = \inf_x \frac{f(x)}x.$$ (En particular, el límite anterior existe - si incluimos la posibilidad $-\infty$ .)

Evidentemente, esto no es cierto sin ningún supuesto adicional sobre $f$ . (Por ejemplo, si $f$ es cualquier solución no lineal de Ecuación de Cauchy entonces $\liminf \frac{f(x)}x < \limsup \frac{f(x)}x$ y $f$ es tanto subaditiva como superaditiva. Probablemente se pueden dar ejemplos mucho más sencillos).

Por otro lado, si $f$ se comporta bien, la afirmación anterior es cierta. Si asumo que $f$ está acotado en intervalos de la forma $(0,x]$ entonces puedo repetir básicamente la prueba que se da para las secuencias aquí .

---

Así que mi pregunta es:

• ¿En qué supuestos sobre $f$ la afirmación anterior es cierta.

• ¿Puede dar algunas referencias de esta afirmación?

---

EDIT: He encontrado un resultado que muestra que la mensurabilidad de $f$ es suficiente y añadió este resultado como respuesta. Creo que esto es suficiente para la mayoría de las aplicaciones y mi opinión es que no hay mucho espacio para mejorar este resultado. Sin embargo, voy a esperar un poco antes de aceptar mi propia respuesta, por si alguien quiere añadir alguna información interesante o más referencias útiles. He aceptado mi propia respuesta, pero si tienes alguna información interesante que puedas añadir, estaré encantado de conocerla.

Answer 1

Si se encuentra lo siguiente $N$ -resultado de la dimensión en el libro Introducción a la teoría de las ecuaciones e inecuaciones funcionales Por Marek Kuczma p.463 :

Teorema 16.2.9. Sea $f:\mathbb R^{N}\to\mathbb R$ sea una función subaditiva medible. Entonces para cada $x\in\mathbb R^N$ existe el límite $$F(x)=\lim_{t\to\infty} \frac{f(tx)}t.$$ La función $F$ es finito, continuo en $\mathbb R^N$ , positivamente homogénea y subaditiva.

También debo mencionar que en la demostración de este teorema se muestra que $$\lim_{t\to\infty} \frac{f(tx)}t=\inf_{t>0}\frac{f(tx)}t.$$

Este resultado se demuestra en el libro de Kuczma y da los siguientes textos como referencias adicionales:

• E. Hille y R. S. Phillips, Functional analysis and semi-groups, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 31, American Mathematical Society, Providence, R. I., 1957, rev. ed. Special case for $N=1$ se da en este libro como Teorema 7.6.1 . En este caso, los supuestos son los siguientes $f$ es una función real subaditiva definida en algún intervalo $(a,\infty)$ , $a\ge 0$ .

• R.A. Rosenbaum, Funciones subaditivas , Duke Math. J. 17 (1950), 227-247.

También me topé con el documento J.M. Hammersley: Generalización del teorema fundamental de las funciones subaditivas donde el autor se refiere a este resultado como teorema fundamental de las funciones subaditivas .

---

Esto demuestra que la mensurabilidad de $f$ es suficiente para que se cumpla el lema de Fekete.