Demuestra que cada secuencia monotónica creciente y limitada es Cauchy.

Question

El título es engañoso, porque la tarea de mostrar

Cada monótona creciente y acotada secuencia $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ es de Cauchy

sin saber que:

• Cada delimitada conjunto no vacío de números reales tiene al menos un superior enlazado. (Supremum/Integridad Axioma)
• Una secuencia converge si y sólo si es de Cauchy. (De Cauchy
  Criterio)
• Cada monotónica creciente/decreciente, acotada y real
  secuencia converge a la supremum/infimum del codominio (no estoy seguro si esta es la palabra correcta).

Sin embargo, lo que es permitido el uso de los mencionados así:

• Una secuencia se llama covergent, si por $\forall\varepsilon>0\,\,\exists N\in\mathbb{N}$, de modo que $|\,a_n - a\,| < \varepsilon$$\forall n>N$. (Definición de Convergencia)
• Una secuencia $(a'_k)_{k≥1}$ se llama una larga de una secuencia $(a_n)_{n≥1}$, si hay una monótona creciente secuencia $(n_k)_{k≥1}\in\mathbb{N}$, de modo que $a'_{k} = a_{n_{k}}$$\forall k≥1$. (Definición de una Larga)
• Una secuencia $(a_n)_{n≥1}$ es de Cauchy, si por $\forall\varepsilon>0\,\,\exists N=N(\varepsilon)\in\mathbb{N}$, de modo que $|\,a_m - a_n\,| < \varepsilon$$\forall m,n>N$. (Definición de una Secuencia de Cauchy)
• (Sugerencia) La secuencia de $(\varepsilon\cdot\ell)_{\ell\in\mathbb{N}}$ es ilimitado para $\varepsilon>0$. (Principio De Arquímedes)

Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Si $x_n$ no es de Cauchy, a continuación, una $\varepsilon>0$ puede ser elegido (fijo en el resto) para que, dado cualquier arbitrariamente grande, $N$ hay $p,q \ge n$ que $p<q$ $x_q-x_p>\varepsilon.$

Ahora a empezar con $N=1$ y elija $x_{n_1},\ x_{n_2}$ para que la diferencia de estos es, al menos,$\varepsilon$. El siguiente uso de algunos $N'$ más allá de cualquier índice $n_1,\ n_2$ y pick $N'<n_3<n_4$ que $x_{n_4}-x_{n_3}>\varepsilon.$ Continuar en este camino para la construcción de un larga.

Que esta larga diverge a $+\infty$ puede ser mostrado usando el principio de Arquímedes, lo que usted diga puede ser utilizado, ya que todas las diferencias son no negativos y hay infinitamente muchas diferencias cada vez mayor $\varepsilon$, un número positivo fijo.

Answer 2

1) Cada secuencia monótona de aumento / disminución, acotada y real converge al supremo / mínimo del codominio (no estoy seguro si esta es la palabra correcta).

2) Una secuencia converge si y solo si es Cauchy. (Criterio de Cauchy).

Lo escribiste tú mismo.