infinitud de números primos que son$11 \bmod 12$

Question

Supongamos que hay muchos números primos$\{p_1, \ldots, p_k\}$ que son$11 \pmod {12}$ y consideran$p = (p_1 \cdots p_k)^2 + 10$. Luego$p_i \nmid p$ para cualquier$i \leq k$, y$p \equiv 1 + 10 \equiv 11 \bmod 12$. Luego,$p$ es un primo en sí mismo, contradicción, o$p$ tiene todos los divisores primos de la forma$12n + 1, 12n + 5, 12n + 7, 12n + 11$. No todos los factores primos son de las formas$12n + 1, 5, 7$ porque entonces$p \equiv 1, 5, 7 \mod 12$. Por lo tanto, debe tener un factor primo$12n + 11$, pero$p_i \nmid p$ y así tenemos una contradicción.

¿Esta prueba es válida?

Answer 1

Supongamos que hay un número finito de números primos $\{p_1, \ldots, p_k\}$ se $11 \pmod {12}$ y considerar la posibilidad de $p = (p_1 \cdots p_k)^2 + 10$.

Hasta ahora tan bueno. No, espera, $-1 \equiv 11 \pmod {12}$, pero luego elevarlo al cuadrado y sumando $10$... bueno, usted está bien en este punto. El amor maravillosamente confuso uso de $p$ sin subíndice donde más torpe mente se vaya con una letra mayúscula como $P$ o $N$. Mwahahahahahahahaha!

A continuación, $p_i \nmid p$ cualquier $i \leq k$, e $p \equiv 1 + 10 \equiv 11 \bmod 12$. A continuación, $p$ es un prime, contradicción, o $p$ tiene todos los primos divisores de la forma $12n + 1, 12n + 5, 12n + 7, 12n + 11$. No todo el primer factor son las formas $12n + 1, 5, 7$ porque $p \equiv 1, 5, 7 \mod 12$.

Creo que aquí es donde surge el problema. $5 \times 7 = 3 \times 12 - 1$. De curso $25$ no puede surgir a partir de una secuencia finita de números primos de la forma $12k - 1$.

O vamos a decir $47$ es la única flor de la forma prescrita. A continuación,$47^2 + 10 = 2219 = 7 \times 317$, e $317 \equiv 5 \pmod {12}$, por lo que este es, precisamente, una $5 \times 7$ situación.

A menos que explícitamente dice $k > 1$, la prueba tiene que trabajar para $k = 1$, y este no. Volver a la mesa de dibujo.

Answer 2

Veo lo que usted está tratando de hacer. Aquí es la mala noticia. La generalización de un similar prueba de que de Euclides para la infinitud de los números primos no va a funcionar. Si usted tiene un número de $n=11\pmod {12}$, el primero es darse cuenta de que existe un primer $p | n$ que es congruente a $5$, $7$, o $11 \pmod {12}$. Si no hay prime $p = 11 \pmod {12}$ dividiendo $n$, entonces hay dos números primos $q$ $q_2$ tal que $q = 5 \pmod {12}$$q_2 = 7 \pmod {12}$. La buena noticia es que podemos restringir enteros $n$ de ciertas formas que sólo tienen factores primos congruentes a $1$ o $11 \pmod {12}$ (excluyendo $2$ o $3$). Deje $p$ ser una de las primeras y considerar el clima $x^2 = 3 \pmod p$ es soluble o no soluble. Por la ley de la reciprocidad cuadrática, $p = 1$ o $11 \mod {12}$. Por lo tanto, cada uno de los prime $p$ dividiendo $x^2-3$ es $1$ o $11 \pmod {12}$. Si $x = 12k$ es un múltiplo de a $12$, luego $(12k)^2-3$ = $144k^2-3$ que es divsible por $3$. La eliminación de este factor de $3$,$48k^2-1$, lo cual es congruente a $11 \pmod {12}$. Por las anteriores condiciones, todos los números primos $p$ dividiendo $48k^2-1$ son congruentes a $1$ o $11 \pmod {12}$. Es simple, para mostrar que no todos los números primos dividiendo $48k^2-1$ son de la forma $1 \pmod 12$ porque si esto fuera cierto implicaría la $48k^2-1$ es cognruent a $1 \pmod {12}$, e $48k^2$ es congruente a $2 \pmod 12$, pero $48$ es un múltiplo de a $12$, y por lo $48k^2$, una contradicción, por lo tanto hay al menos un primer $p$ dividiendo $48k^2-1$ congruente a $11 \pmod {12}$, que es relativamente primer a $k$ obviamente. En este punto quieres ver cómo esto es similar a la de Euclides Prueba de una infinidad de números primos.

Answer 3

$p\equiv 11\pmod {12}\iff p=11+12n$. La declaración es entonces una aplicación del teorema de Dirichlet sobre las progresiones aritméticas. Sin embargo, usted está preguntando aquí acerca de su prueba.

Bueno, mire los cuatro primeros números primos iguales a$11$ modulo$12$, es decir,$11,23,47$ y$59$. Tienes

$$p=11^2\cdot23^2\cdot47^2\cdot59^2+10=492199062971=7\cdot11^3\cdot127\cdot415969$$ And you have these four prime factors are of the form $ 12n +7,12n +11,12n +5$ and $ 12n +1 $ respectivamente.

Siguiendo su razonamiento, de hecho$492199062971\equiv{11}\pmod{12}$, sin embargo, no aparece una quinta primo de la forma requerida en su expresión para$p$.

Me temo que tu buen intento no es correcto.