¿Qué son los números$n$ tales que$a^2+nb^2 = c^2$ y$na^2+b^2 = d^2$?

Question

Deje $n$ $a,b,c,d,$ en los enteros positivos.

I. Para el sistema,

$$a^2-nb^2 = c^2\\a^2+nb^2=d^2$$

a continuación, $n$ es un congruentes número. La secuencia se inicia como $n=5,6,7,13,14,15,20,21,$ y así sucesivamente.

II. Para,

$$a^2+b^2 = c^2\\a^2+nb^2=d^2$$

a continuación, $n$ es un concordantes de la forma/número. Se inicia como $n=1,7, 10, 11, 17, 20, 22, 23, 24,27,$ etc.

III. Definir,

$$a^2+nb^2 = c^2\\na^2+b^2=d^2$$

con un número infinito de co-prime $a,b$. (En otras palabras, una cierta curva elíptica ha positiva de rango.)

Pregunta:

1. Nadie sabe lo $n$ es llamado para III?
2. ¿Cuál es su lista de $n$ por debajo de un límite? (Creo que empieza $n =7, 12, 17, 19, 28, 33, 39, 40, 44, 48,$ pero no estoy seguro de si me he perdido algo de $n$ en el rango).

IV. A partir de este post, sé que $n=13$ no tiene una solución. Sin embargo, $n=12$. Dado el buen Letac-Sinha identidad,

$$(a+c)^k + (a-c)^k + (3b+d)^k + (3b-d)^k + (4a)^k = \\(3a+c)^k + (3a-c)^k + (b+d)^k + (b-d)^k + (4b)^k$$

para $k = 2,4,6,8$ donde,

$$a^2+12b^2 = c^2\\12a^2+b^2=d^2$$

no triviales de la solución de $a,b = 218, 11869,$ y, el uso de una curva elíptica, un infinito más.

Answer 1

Tenga en cuenta que I, II y III contienen la quadric $a^2+Nb^2=\Box$, que puede ser parametrizado por $a=k^2-N$, $b=2k$, donde $k$ es racional.

Para I, $a^2-Nb^2=c^2$ da la cuártica $c^2=k^4-6Nk^2+N^2$, mientras que para el II, $a^2+b^2=c^2$ da $c^2=k^4+(4-2N)k^2+N^2$. Ambos de estos cuárticas tener claro soluciones racionales $(k,c)=(0,\pm N)$, y así se puede transformar a las conocidas curvas elípticas para estos problemas.

Para III, sin embargo, $Na^2+b^2=d^2$ da la cuártica $d^2=N\,k^4+(4-2N^2)k^2+N^3$ que NO tiene un obvio punto racional y por lo tanto no puede estar relacionado con una familia de curvas elípticas. De hecho, para ciertos valores de $N$ el cuárticas no tiene puntos racionales, como por $N=2$ o $N=5$.

Hay un punto racional al $N=M^2$. En este caso, el problema es equivalente a la concordantes problema de número de $M^4$.