Cálculo de la curvatura gaussiana a partir de la primera forma fundamental.

Question

Deje $r(u,v): \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^3$ ser una superficie en $\mathbb R^3$. Sé cómo calcular la curvatura de Gauss cuando la primera y la segunda formas fundamentales están dadas. Además, no es muy difícil si sólo la primera forma fundamental es conocido y es de la forma $I=f(u,v)du^2+g(u,v)dv^2$. Pero, ¿qué puedo hacer si el coeficiente de $du\ dv$ no $0$ en la primera forma fundamental? Por ejemplo, ¿cuál es la curvatura de Gauss si $I = (1+v^2)du^2+2uv\ du\ dv+(1+u^2)dv^2$? Debo reemplazar $u$ $v$ mediante combinaciones lineales de ellos para matar a medio plazo? Ya que esto implica una gran cantidad de cálculos, hay algún método mejor?