Demuestra que $\mathbb Z[x]/\langle x^2-3,2x+4 \rangle$ es isomorfo a $\mathbb Z_2[\sqrt 3]$ . Intenté usar el primer teorema del homomorfismo, pero no pude conseguirlo, ¿cómo debo abordarlo?
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Don MacAskill
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En primer lugar, hay que tener en cuenta que $\Bbb Z[x]/(x^2 - 3,2x + 4)\cong\Bbb Z[\sqrt{3}]/(2\sqrt{3} + 4)$ . A continuación, vemos que $I = (2\sqrt{3} + 4) = (2(\sqrt{3} + 2))$ y que $\sqrt{3} + 2$ es una unidad en $\Bbb Z[\sqrt{3}]$ : $(\sqrt{3} + 2)(-\sqrt{3} + 2) = -3 + 4 = 1$ . Así, $$ \Bbb Z[\sqrt{3}]/I \cong\Bbb Z[\sqrt{3}]/(2)\cong\Bbb Z[x]/(2,x^2 - 3)\cong\Bbb F_2[x]/(x^2 - 3)\cong\Bbb F_2[x]/(x^2 - 1)\cong\Bbb F_2[x]/(x - 1)^2\cong \Bbb F_2[x]/(x)^2. $$
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¿Qué quiere decir con $\Bbb Z_2[\sqrt{3}]$ ? Si por $\Bbb Z_2$ quieres decir $\Bbb F_2$ , $3 = 1$ Así que $\sqrt{3} = \sqrt{1}$ y "ambas" raíces cuadradas de $1$ ya existen en $\Bbb F_2$ ( $x^2 - 1 = (x - 1)^2$ en $\Bbb F_2[x]$ ).