¿Cómo utilizo el teorema del homomorfismo para demostrar la afirmación?

Question

Demuestra que $\mathbb Z[x]/\langle x^2-3,2x+4 \rangle$ es isomorfo a $\mathbb Z_2[\sqrt 3]$ . Intenté usar el primer teorema del homomorfismo, pero no pude conseguirlo, ¿cómo debo abordarlo?

Answer 1

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $\Bbb Z[x]/(x^2 - 3,2x + 4)\cong\Bbb Z[\sqrt{3}]/(2\sqrt{3} + 4)$ . A continuación, vemos que $I = (2\sqrt{3} + 4) = (2(\sqrt{3} + 2))$ y que $\sqrt{3} + 2$ es una unidad en $\Bbb Z[\sqrt{3}]$ : $(\sqrt{3} + 2)(-\sqrt{3} + 2) = -3 + 4 = 1$ . Así, $$\Bbb Z[\sqrt{3}]/I \cong\Bbb Z[\sqrt{3}]/(2)\cong\Bbb Z[x]/(2,x^2 - 3)\cong\Bbb F_2[x]/(x^2 - 3)\cong\Bbb F_2[x]/(x^2 - 1)\cong\Bbb F_2[x]/(x - 1)^2\cong \Bbb F_2[x]/(x)^2.$$