Encuentre todos los valores de$x,y,z$ enteros positivos de modo que$4^x+4^y+4^z$ sea un cuadrado perfecto

Question

Tengo que resolver la ecuación$$4^x+4^y+4^z=k^2 Publiqué mi solución pero no sé si hay otra solución. ¿Cómo puedo demostrar que esta expresión es un cuadrado perfecto? ¿Hay otras pruebas? Gracias por adelantado:)

Answer 1

Buscamos soluciones a la ecuación de Diophantine:

$$4^x + 4^y + 4^z = k^2$$ where $x, y, z$ and $k$ are integers. Let us assume that $x$ is the smallest of the set ($x, y, z$). Dividing both sides of the equation by $4^x$ (que es un cuadrado perfecto) y reordenando términos se obtiene:

$$4^u + 4^v = m^2 -1 = (m - 1)(m + 1)$$

Ahora el LHS es impar, sólo si $u = 0$ $v > 0$ (o viceversa). Pero entonces la ecuación no tiene soluciones. Por consiguiente, se puede suponer que el LHS es aún. Esto significa que $m$ debe ser impar. Sustituyendo $m = 2p + 1$ rendimientos:

$$4^u + 4^v = 4p(p+1)$$

Esta ecuación es fácil de resolver: $p$ debe ser de la forma $4^q$,$q = 0, 1, 2, 3,...$. Los correspondientes pares ($u, v$) se encuentran ($q+1, 2q+1$). La solución general para los conjuntos de $(x, y, z)$ es por eso:

$$(x, y, z) = (n, n + q + 1, n + 2q + 1)$$ where $n$ and $q$ are integers equal to or larger than $0$. If we focus on $n = 0$, the first five values for $k^2$ are found to be: $9 = 3^2, 81 = 9^2, 1089 = 33^2, 16641 = 129^2, 263169 = 513^2$.

Answer 2

La ecuación que tengo que resolver es: $$4^x+4^y+4^z=k^2$$ La manipulación de la ecuación se convierte en: $$4^x(4^{|y-x|}+4^{|z-x|}+1)=k^2$$ Ahora $4^x$ siempre es un cuadrado perfecto, por lo tanto, tenemos que encontrar el valor de $x,y, z$, de modo que $4^{|y-x|}+4^{|z-x|}+1$ es un cuadrado perfecto. Ponemos a $u=|y-x|$ $v=|z-x|$ y la ecuación se convierte en $$4^u+4^v+1=m^2(k^2|m^2)$$ y $$4(4^{u-1}+4^{v-1})=(m+1)(m-1)$$ Ahora vamos a analizar tres sistemas de ecuaciones:

$1)$ $$\left\{ \begin{array}{c} 4=m-1\\ 4^{u-1}+4^{v-1}=m+1\end{array} \right.$$ $2)$ $$\left\{ \begin{array}{c} 4=m+1\\ 4^{u-1}+4^{v-1}=m-1 \end{array} \right.$$ $3)$ $$\left\{ \begin{array}{c} 4=(m-1)(m+1)\\ 4^{u-1}+4^{v-1}=1 \end{array} \right.$$ Desde el primer sistema, si $4=m-1$$m=5$, pero $4^u+4^v+1=5$ no soluciones. Desde el segundo sistema, si $4=m+1$$m=3$, por lo $4^u+4^v+1=9$ tiene como únicas soluciones $u=1$$v=1$. Desde el tercer sistema, si $4=(m+1)(m-1)$ $m=\sqrt 5$ que no es un número entero. Si $u=1=|y-x|$ $v=1=|z-x|$ las soluciones se $z=y=x\pm 1$.