Parece que un "arco" es un segmento de línea mapeado en la superficie de una esfera (aunque no sé si ese nombre sigue siendo válido si el segmento envuelve la esfera más de una vez, es decir, si el ángulo subtendido por el arco es $>2\pi$ ). ¿Existe un nombre para los polinomios de orden superior mapeados en la superficie de una esfera?
Actualización:
¿Podría estar relacionado con la geodésica? ¿Existe una generalización de las geodésicas paralela a la generalización polinómica de las líneas? También me gustaría que me indicaran dónde buscar más información sobre la idea de hacer matemáticas planas en la superficie de una esfera: por ejemplo, si eliges un punto en la superficie de una esfera y defines un conjunto de bases ortonormales arbitrarias para crear un sistema de coordenadas en la superficie, entonces puedes seguir un conjunto de reglas sobre cómo cambia ese sistema de coordenadas cuando trazas una función. Seguro que el sistema de coordenadas colisionará consigo mismo, pero eso está bien siempre que cualquier punto de una función sepa cuál es su propio marco de coordenadas local. ¿Tiene sentido esta descripción?
Editar para aclarar el mapeo:
En el espacio euclidiano, se puede definir un segmento spline cuadrático con dos segmentos lineales que comparten un punto final. Si parametrizamos la spline con $t$ y tienen puntos $P(0)$ , $K(.5)$ y $P(1)$ entonces $P(t) = (1-t)^2P(0) + 2t(1-t)K(.5) + t^2P(1)$ describe una curva cuadrática que interpola $P(0)$ y $P(1)$ y tiene primeras derivadas definidas por $K(.5)$ .
Puedo definir un arco en la esfera unitaria con dos vectores ortonormales y un ángulo (de modo que puedo definir arcos subtendidos $\pi$ radianes). Si esos vectores son $A(0)$ y $B(0)$ con ángulo $\theta$ entonces mi "spline esférico de primer orden se define como $Q(t) = \cos(t\theta)A(0) + \sin(t\theta)B(0)$ . Puedo utilizar el mismo tipo de enfoque que se utiliza para hacer un spline cuadrático a partir de dos splines lineales estableciendo $A(1) = Q(1)$ con $B(1)$ y $\theta_2$ como parámetros libres para definir la curva (aunque $B(1)$ debe ser ortogonal a $A(1)$ ). Hay un grado de libertad extra en el caso esférico que debe ser tratado (cuántas veces el $A(0),B(0)$ se voltea al interpolar el plano en el $A(1),B(1)$ plano), pero el mapeo es bastante sencillo. Así que parece que se trata de una curva cuadrática sobre una superficie esférica. Se ve bien. ¿Tiene un nombre?
Puedo encontrar referencias a los polinomios de Bernstein-Bezier en una esfera, pero esto parece ser algo diferente.
En este ejemplo, $A(0)$ es de color rojo, $B(0)$ (normalmente cubierto) es de color rosa, $A(1)$ es verde, $B(1)$ es cian, el punto final es azul. El amarillo y el naranja representan el plano por el que $A(0),B(0)$ rotar para interpolar en $A(1),B(1)$ . Cambio los parámetros de la curva mientras gira.
