$\sum_\limits{n=0}^{\infty} a_n$ converge$\implies \sum_\limits{n=0}^{\infty} a_n^2$ converge

Question

Sea$(a_n)$ una secuencia de términos positivos y supongamos que$\sum_\limits{n=0}^{\infty} a_n$ converge. Demuestre que$\sum_\limits{n=0}^{\infty} a_n^2$ converge.

Esto está en la sección de la Prueba de comparación, por lo que debe ser lo que se supone que debo usar. Pero no veo cómo. $(a_n)^2$ podría ser más pequeño o más grande que$a_n$ dependiendo de$a_n$. Y no puedo usar la prueba de comparación con otras series porque aquí no hay información sobre qué tan rápido converge$\sum a_n$. Hmm ¿Alguna pista?

Answer 1

Si sabemos que$a_n\to 0$ entonces va a satisfacer$0\le a_n<1$ después de un tiempo, es$a_n^2\le a_n$ para$n\ge N$ con algunos$N>0$. Hace que la comparación de las colas sea válida $$ \ sum_ {n = N} ^ \ infty a_n ^ 2 \ le \ sum_ {n = N} ^ \ infty a_n. $$ La convergencia de las colas es todo lo que necesitamos para la convergencia.

Answer 2

Sugerencia: como forma alternativa, probablemente vale la pena mencionarlo para términos positivos:$$\left(\sum_{n=0}^{k} a_n\right)^2 \geq \sum_{n=0}^{k} a_n^2$ $ Ahora, tomando el límite$$\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n\right)^2 \geq \sum_{n=0}^{\infty} a_n^2$ $

Answer 3

Para cualquier $\epsilon>0$, debe haber un $N$ tal que $a_n<\epsilon$ todos los $n>N$. Si esto no fuera verdad, sería la adición de una cantidad infinita de no-cero términos, es decir, la suma nos alejara, que, según la declaración es falsa.

Deje $\epsilon=1$, de modo que tenemos algunos $N$ tal que $a_n<1$ todos los $n>N$. A continuación, debería ser claro que para cualquier $0<a_n<1$,$0<(a_n)^2<a_n<1$.

Por lo tanto, tenemos

$$\sum_{n>N}(a_n)^2<\sum_{n>N}a_n$$

Y desde $\sum_{n=1}^N(a_n)^2$ es finito, se muestra mediante la prueba de comparación que

$$\sum_{n\ge0}(a_n)^2<\sum_{n=1}^N(a_n)^2+\sum_{n>N}a_n$$

que converge.

Answer 4

tomar dos secuencias$x_n$ =$\sum_{k=0}^{n}a_k$ y$t_n$ =$\sum_{k=0}^{n}(a_k)^2$

ahora$a_n$> 0 para todos n$\in$ N para que podamos escribir$t_n$ <$(x_n)^2$ para todos n. ahora como$\sum a_n$ es convergente ya que lim$x_n$ existe .. entonces la secuencia$x_n$ es convergente y por lo tanto está limitada ... entonces existe M> 0 st$x_n$ <M para todos n$\in$ N. así que$t_n$ <$M^2$ para todos n$\in$ N. ahora$t_n$ está aumentando en forma escalonada y delimitada por arriba por$M^2$

así que$t_n$ es convergente ... significa$\sum (a_n)^2$ es convergente

Answer 5

Como la sección trata sobre la prueba de comparación, lo más apropiado es utilizar la prueba de comparación de límite de un lado : $$ \ sum_n a_n \ \ text {converge y} \ frac {a_n ^ 2} {a_n} = a_n \ a 0 <+ \ infty \ quad \ Rightarrow \ quad \ sum_n a_n ^ 2 \ \ text {converge.} $$