En Muscalu, Schlag - Análisis de armónicos clásico y multilineal (Cambridge Universitv Press 2013), página 299 hay una estimación bastante extraña para la que no puedo encontrar ninguna justificación:
Funciones utilizadas: $$ \ def \ supp {\ mathop {\ rm supp}} \begin{align*} \psi & \in C_c^\infty(\mathbb R) \\ \supp \psi & \subset [-2,2] \\ \psi|_{[-1,1]} & \equiv 1 \\ \chi & \in C_c^\infty(\mathbb R) \\ \supp \chi & \subset [-1,1] \\ \chi(0) & = 1 \\ \psi(\mathbb R) = \chi(\mathbb R) & = [0,1]\\ z & \in\mathbb C\\ \tau & \in\mathbb R \end {align *} $$
La afirmación es que $$ \begin{align*} \int_0^\infty \left| \frac{\mathrm d^N}{\mathrm dt^N} (t^z (1-\psi(t\tau)) \chi(t)) \right| \mathrm dt & \le C_N \int_0^\infty \left| \prod_{k=0}^{N-1} (z-k) t^{z - N} (1-\psi(t\tau)) \chi(t) \right| \\ & \qquad \qquad + \left| t^{z} \psi^{(N)}(t\tau) \tau^N \chi(t) \right| \\ & \qquad \qquad + \left| t^{z} (1-\psi(t\tau)) \chi^{(N)}(t) \right| \mathrm dt \\ & = C_N \int_0^\infty \left| \prod_{k=0}^{N-1} (z-k) \right| t^{\Re z - N} (1-\psi(t\tau))\chi(t) \\ & \qquad \qquad + t^{\Re z} |\psi^{(N)}(t\tau)| \tau^N \chi(t) \\ & \qquad \qquad + t^{\Re z} (1-\psi(t\tau)) |\chi^{(N)}(t)| \mathrm dt \end {align *} $$
Básicamente, podemos controlar$$\int |\partial^N (uvw)| \le C_N \int |\partial^N u vw| + |u \partial^N vw| + |uv\partial^N w|$ $ Lo que ciertamente no es cierto en general (elegimos$u=v=w=x$ y$N=3$, por ejemplo)
Entonces, ¿cómo podemos justificar esa estimación en este caso especial?
