¿Qué matrices conmutan con$\operatorname{SO}_n$?

Question

$\newcommand{\GLp}{\operatorname{GL}_n^+}$ $\newcommand{\SO}{\operatorname{SO}_n}$

Deje $n>2$, y Deje $A \in \GLp$ ser invertible real $n \times n$ matriz que conmuta con $\SO$.

Es cierto que $A= \lambda Id$ para algunos $\lambda \in \mathbb{R}$ ?

Un requisito equivalente es que $A$ conmuta con cada sesgo de simetría de la matriz.

Una dirección se obtiene mediante la diferenciación de un trazado ortogonal de matrices a partir de la identidad. A la inversa implicación viene del hecho de que cada elemento de a$\SO$ es igual a $\exp(M)$ para algunos skew-simétrica $M$.

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Tenga en cuenta que si asumimos que $A \in \SO$, entonces la respuesta es positiva: debemos tener $A=\pm Id$ .

Answer 1

Esta es una teoría de la representación pregunta: ligeramente generalizada (no hay necesidad de restringir nuestra atención a $GL_n^{+}$), estás preguntando cuál es el endomorphisms de $\mathbb{R}^n$ como una representación de la Mentira de grupo $SO(n)$ (o, equivalentemente, la Mentira de álgebra $\mathfrak{so}(n)$).

Esta representación es siempre irreductible, así que por Schur del lema de la endomorphisms formar una división de álgebra más de $\mathbb{R}$, que por el teorema de Frobenius debe ser $\mathbb{R}, \mathbb{C}$o $\mathbb{H}$. Los dos últimos casos no puede suceder si $n$ es impar (debido a $\mathbb{C}$ e $\mathbb{H}$ sólo actúan en $\mathbb{R}^n$ cuando $n$ es divisible por $2$ o $4$ respectivamente).

Si $n = 2k \ge 4$ es incluso podemos argumentar de la siguiente manera: si el endomorfismo anillo contiene $\mathbb{C}$, a continuación, $SO(2k)$ debe incrustar en $GL_k(\mathbb{C})$ , y por tanto en el grupo unitario $U(k)$, por compacidad, y de manera similar en el nivel de álgebras de Lie. Pero esto es imposible por una dimensión count: $SO(2k)$ tiene dimensión $k(2k-1)$, pero $U(k)$ tiene dimensión $k^2$, y para $k \ge 2$ tenemos $2k-1 > k$. (Para $k = 1$ son iguales, lo que refleja la coincidencia $SO(2) = U(1)$.) Así que el endomorfismo anillo debe ser $\mathbb{R}$. Probablemente un simple argumento de que es posible aquí.