Evaluar $\int_{0}^{\pi/2}\frac{x}{(a^2\cos^2x+b^2\sin^2x)}dx$

Question

La cuestión es evaluar esta integral definida: $$\int_{0}^{\pi/2}\frac{x}{(a^2\cos^2x+b^2\sin^2x)}dx$$

Conozco la integración definitiva con límites de $0$ a $\pi$ donde utilizamos la identidad $\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$ pero obviamente no se puede utilizar aquí. También he intentado romper el $0$ a $\pi$ uno en dos partes sin éxito. Dado que la otra tenía una solución tan sencilla, no puedo entender esta y me gustaría recibir ayuda.

Answer 1

Al aplicar la sustitución $x=\arctan u$ nos quedamos con

$$\mathcal{J}(a,b)=\int_{0}^{\pi/2}\frac{x}{a^2\cos^2 x+b^2\sin^2 x}=\int_{0}^{+\infty}\frac{\arctan u}{a^2+b^2 u^2}\,du $$ y para cualquier $a,b,c>0$ $$ \frac{d}{dc}\int_{0}^{+\infty}\frac{\arctan(c u)}{a^2+b^2 u^2}\,du = \int_{0}^{+\infty}\frac{u\,du}{(a^2+b^2 u^2)(1+c^2 u^2)}\stackrel{\text{PFD}}{=}\frac{\log(c)-\log(b)+\log(a)}{a^2 c^2-b^2}$$ tal que $$\mathcal{J}(a,b)=\int_{0}^{1}\frac{\log(c)-\log(b)+\log(a)}{a^2 c^2-b^2}\,dc $$ está relacionado con $\log$ y $\text{Li}_2$ como ha señalado Sangchul Lee y se ha cansado en los comentarios.

Answer 2

Escribe $\alpha = a/b$ y sustituirlo por $\tan x = \alpha t$ para obtener

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{a^2\cos^2 x + b^2\sin^2 x} \, dx = \frac{1}{ab} \int_{0}^{\infty} \frac{\arctan(\alpha t)}{1 + t^2} \, dt =: \frac{1}{ab}I(\alpha). $$

Entonces

\begin{align*} I'(\alpha) &= \int_{0}^{\infty} \frac{t}{(1+t^2)(1+\alpha^2 t^2)} \, dt \\ &\hspace{1.5em} = \left[ -\frac{1}{2(1-\alpha^2)} \log\left( \frac{1+\alpha^2 t^2}{1+t^2} \right) \right]_{0}^{\infty} = -\frac{\log \alpha}{1 - \alpha^2}. \end{align*}

Ahora es fácil comprobar que, si escribimos $\chi_2(z) = \int_{0}^{z} \frac{\operatorname{artanh} \xi}{\xi} \, d\xi$ para el Función chi de Legendre entonces

$$ \frac{d}{d\alpha} \chi_2\left(\frac{1-\alpha}{1+\alpha}\right) = \frac{\log \alpha}{1-\alpha^2}. $$

Por lo que se deduce que

$$ I(\alpha) = \chi_2(1) - \chi_2\left(\frac{1-\alpha}{1+\alpha}\right) = \frac{\pi^2}{8} + \chi_2\left(\frac{\alpha-1}{\alpha+1}\right). $$

Si se vuelve a introducir esto y se manipula un poco, se obtiene

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{a^2\cos^2 x + b^2\sin^2 x} \, dx = \frac{1}{ab} \left( \frac{\pi^2}{8} + \chi_2\left(\frac{a-b}{a+b}\right) \right). $$